Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66237 / 44439
↖ ↑ ↗
← N 50.023623°
E  1.925354°		 ← 196.19 m → N 50.023623°
E  1.928100°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
N 50.021859°
E  1.925354°		 ← 196.19 m →
38 498 m²		 N 50.021859°
E  1.928100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505352020263672 y=0.339046478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505352020263672 × 217)
    floor (0.505352020263672 × 131072)
    floor (66237.5)     		tx = 66237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339046478271484 × 217)
    floor (0.339046478271484 × 131072)
    floor (44439.5)     		ty = 44439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66237 / 44439 ti = "17/66237/44439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66237/44439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66237 ÷ 217
    66237 ÷ 131072     		x = 0.505348205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44439 ÷ 217
    44439 ÷ 131072     		y = 0.339042663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505348205566406 × 2 - 1) × π
    0.0106964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03360377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339042663574219 × 2 - 1) × π
    0.321914672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.01132477128432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03360377} λ = 0.03360377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01132477128432))-π/2
    2×atan(2.74924071875501)-π/2
    2×1.22193662640001-π/2
    2.44387325280002-1.57079632675     		φ = 0.87307693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03360377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.925354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87307693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.023623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66237 KachelY 44439 0.03360377 0.87307693 1.925354 50.023623
    Oben rechts KachelX + 1 66238 KachelY 44439 0.03365170 0.87307693 1.928100 50.023623
    Unten links KachelX 66237 KachelY + 1 44440 0.03360377 0.87304613 1.925354 50.021859
    Unten rechts KachelX + 1 66238 KachelY + 1 44440 0.03365170 0.87304613 1.928100 50.021859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87307693-0.87304613) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87307693-0.87304613) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03360377-0.03365170) × cos(0.87307693) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.642471711870033 × 6371000     		do = 196.186466154215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03360377-0.03365170) × cos(0.87304613) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.64249531389487 × 6371000     		du = 196.193673316431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87307693)-sin(0.87304613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642471711870033-0.64249531389487)×R²
    abs(0.03365170-0.03360377)×2.36020248376434e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36020248376434e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36020248376434e-05×40589641000000     		ar = 38497.7495791186m²