Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66237 / 44147
↖ ↑ ↗
← N 50.536126°
E  1.925354°		 ← 194.09 m → N 50.536126°
E  1.928100°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
N 50.534380°
E  1.925354°		 ← 194.09 m →
37 677 m²		 N 50.534380°
E  1.928100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505352020263672 y=0.336818695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505352020263672 × 217)
    floor (0.505352020263672 × 131072)
    floor (66237.5)     		tx = 66237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336818695068359 × 217)
    floor (0.336818695068359 × 131072)
    floor (44147.5)     		ty = 44147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66237 / 44147 ti = "17/66237/44147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66237/44147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66237 ÷ 217
    66237 ÷ 131072     		x = 0.505348205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44147 ÷ 217
    44147 ÷ 131072     		y = 0.336814880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505348205566406 × 2 - 1) × π
    0.0106964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03360377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336814880371094 × 2 - 1) × π
    0.326370239257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.02532234597338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03360377} λ = 0.03360377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02532234597338))-π/2
    2×atan(2.78799401437981)-π/2
    2×1.22640905958563-π/2
    2.45281811917125-1.57079632675     		φ = 0.88202179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03360377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.925354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88202179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.536126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66237 KachelY 44147 0.03360377 0.88202179 1.925354 50.536126
    Oben rechts KachelX + 1 66238 KachelY 44147 0.03365170 0.88202179 1.928100 50.536126
    Unten links KachelX 66237 KachelY + 1 44148 0.03360377 0.88199132 1.925354 50.534380
    Unten rechts KachelX + 1 66238 KachelY + 1 44148 0.03365170 0.88199132 1.928100 50.534380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88202179-0.88199132) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88202179-0.88199132) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03360377-0.03365170) × cos(0.88202179) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.635591570882066 × 6371000     		do = 194.085532335443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03360377-0.03365170) × cos(0.88199132) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.635615094203651 × 6371000     		du = 194.092715464675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88202179)-sin(0.88199132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635591570882066-0.635615094203651)×R²
    abs(0.03365170-0.03360377)×2.35233215852837e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35233215852837e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35233215852837e-05×40589641000000     		ar = 37677.4289038824m²