Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66234 / 44454
↖ ↑ ↗
← N 49.997147°
E  1.917114°		 ← 196.29 m → N 49.997147°
E  1.919861°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
N 49.995381°
E  1.917114°		 ← 196.30 m →
38 544 m²		 N 49.995381°
E  1.919861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505329132080078 y=0.339160919189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505329132080078 × 217)
    floor (0.505329132080078 × 131072)
    floor (66234.5)     		tx = 66234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339160919189453 × 217)
    floor (0.339160919189453 × 131072)
    floor (44454.5)     		ty = 44454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66234 / 44454 ti = "17/66234/44454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66234/44454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66234 ÷ 217
    66234 ÷ 131072     		x = 0.505325317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44454 ÷ 217
    44454 ÷ 131072     		y = 0.339157104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505325317382812 × 2 - 1) × π
    0.010650634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03345996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339157104492188 × 2 - 1) × π
    0.321685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01060571779002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03345996} λ = 0.03345996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01060571779002))-π/2
    2×atan(2.74726457817006)-π/2
    2×1.22170557699214-π/2
    2.44341115398428-1.57079632675     		φ = 0.87261483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03345996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.917114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87261483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.997147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66234 KachelY 44454 0.03345996 0.87261483 1.917114 49.997147
    Oben rechts KachelX + 1 66235 KachelY 44454 0.03350789 0.87261483 1.919861 49.997147
    Unten links KachelX 66234 KachelY + 1 44455 0.03345996 0.87258401 1.917114 49.995381
    Unten rechts KachelX + 1 66235 KachelY + 1 44455 0.03350789 0.87258401 1.919861 49.995381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87261483-0.87258401) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dl = 196.354219999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87261483-0.87258401) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dr = 196.354219999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03345996-0.03350789) × cos(0.87261483) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.6428257548365 × 6371000     		do = 196.294577433162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03345996-0.03350789) × cos(0.87258401) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.642849363034408 × 6371000     		du = 196.3017864804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87261483)-sin(0.87258401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6428257548365-0.642849363034408)×R²
    abs(0.03350789-0.03345996)×2.36081979084757e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36081979084757e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36081979084757e-05×40589641000000     		ar = 38543.97640858m²