Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66223 / 66833
↖ ↑ ↗
← S  3.560024°
E  1.886902°		 ← 304.84 m → S  3.560024°
E  1.889649°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
S  3.562765°
E  1.886902°		 ← 304.84 m →
92 911 m²		 S  3.562765°
E  1.889649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505245208740234 y=0.509899139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505245208740234 × 217)
    floor (0.505245208740234 × 131072)
    floor (66223.5)     		tx = 66223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509899139404297 × 217)
    floor (0.509899139404297 × 131072)
    floor (66833.5)     		ty = 66833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66223 / 66833 ti = "17/66223/66833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66223/66833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66223 ÷ 217
    66223 ÷ 131072     		x = 0.505241394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66833 ÷ 217
    66833 ÷ 131072     		y = 0.509895324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505241394042969 × 2 - 1) × π
    0.0104827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03293265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509895324707031 × 2 - 1) × π
    -0.0197906494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0621741588072128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03293265} λ = 0.03293265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0621741588072128))-π/2
    2×atan(0.939719212161709)-π/2
    2×0.754331093163729-π/2
    1.50866218632746-1.57079632675     		φ = -0.06213414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03293265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.886902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06213414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.560024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66223 KachelY 66833 0.03293265 -0.06213414 1.886902 -3.560024
    Oben rechts KachelX + 1 66224 KachelY 66833 0.03298059 -0.06213414 1.889649 -3.560024
    Unten links KachelX 66223 KachelY + 1 66834 0.03293265 -0.06218198 1.886902 -3.562765
    Unten rechts KachelX + 1 66224 KachelY + 1 66834 0.03298059 -0.06218198 1.889649 -3.562765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06213414--0.06218198) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06213414--0.06218198) × R
    4.78400000000004e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03293265-0.03298059) × cos(-0.06213414) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99807029526952 × 6371000     		do = 304.836358504688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03293265-0.03298059) × cos(-0.06218198) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998067323542399 × 6371000     		du = 304.835450862733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06213414)-sin(-0.06218198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99807029526952-0.998067323542399)×R²
    abs(0.03298059-0.03293265)×2.9717271209373e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.9717271209373e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.9717271209373e-06×40589641000000     		ar = 92910.5208294317m²