Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66222 / 44429
↖ ↑ ↗
← N 50.041266°
E  1.884155°		 ← 196.16 m → N 50.041266°
E  1.886902°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
N 50.039502°
E  1.884155°		 ← 196.16 m →
38 479 m²		 N 50.039502°
E  1.886902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505237579345703 y=0.338970184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505237579345703 × 217)
    floor (0.505237579345703 × 131072)
    floor (66222.5)     		tx = 66222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338970184326172 × 217)
    floor (0.338970184326172 × 131072)
    floor (44429.5)     		ty = 44429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66222 / 44429 ti = "17/66222/44429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66222/44429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66222 ÷ 217
    66222 ÷ 131072     		x = 0.505233764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44429 ÷ 217
    44429 ÷ 131072     		y = 0.338966369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505233764648438 × 2 - 1) × π
    0.010467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03288471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338966369628906 × 2 - 1) × π
    0.322067260742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.01180414028053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03288471} λ = 0.03288471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01180414028053))-π/2
    2×atan(2.75055893544954)-π/2
    2×1.22209058862776-π/2
    2.44418117725551-1.57079632675     		φ = 0.87338485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03288471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.884155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87338485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.041266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66222 KachelY 44429 0.03288471 0.87338485 1.884155 50.041266
    Oben rechts KachelX + 1 66223 KachelY 44429 0.03293265 0.87338485 1.886902 50.041266
    Unten links KachelX 66222 KachelY + 1 44430 0.03288471 0.87335406 1.884155 50.039502
    Unten rechts KachelX + 1 66223 KachelY + 1 44430 0.03293265 0.87335406 1.886902 50.039502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87338485-0.87335406) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dl = 196.163089999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87338485-0.87335406) × R
    3.07899999999472e-05 × 6371000     		dr = 196.163089999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03288471-0.03293265) × cos(0.87338485) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.642235719424838 × 6371000     		do = 196.155319859777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03288471-0.03293265) × cos(0.87335406) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.642259319876955 × 6371000     		du = 196.162528045329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87338485)-sin(0.87335406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642235719424838-0.642259319876955)×R²
    abs(0.03293265-0.03288471)×2.3600452117134e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3600452117134e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3600452117134e-05×40589641000000     		ar = 38479.1406565788m²