Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66216 / 44552
↖ ↑ ↗
← N 49.823809°
E  1.867676°		 ← 197.04 m → N 49.823809°
E  1.870422°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
N 49.822037°
E  1.867676°		 ← 197.05 m →
38 816 m²		 N 49.822037°
E  1.870422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505191802978516 y=0.339908599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505191802978516 × 217)
    floor (0.505191802978516 × 131072)
    floor (66216.5)     		tx = 66216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339908599853516 × 217)
    floor (0.339908599853516 × 131072)
    floor (44552.5)     		ty = 44552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66216 / 44552 ti = "17/66216/44552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66216/44552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66216 ÷ 217
    66216 ÷ 131072     		x = 0.50518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44552 ÷ 217
    44552 ÷ 131072     		y = 0.33990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50518798828125 × 2 - 1) × π
    0.0103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03259709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33990478515625 × 2 - 1) × π
    0.3201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00590790162726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03259709} λ = 0.03259709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00590790162726))-π/2
    2×atan(2.73438870216086)-π/2
    2×1.22019292059849-π/2
    2.44038584119697-1.57079632675     		φ = 0.86958951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03259709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.867676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86958951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.823809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66216 KachelY 44552 0.03259709 0.86958951 1.867676 49.823809
    Oben rechts KachelX + 1 66217 KachelY 44552 0.03264503 0.86958951 1.870422 49.823809
    Unten links KachelX 66216 KachelY + 1 44553 0.03259709 0.86955859 1.867676 49.822037
    Unten rechts KachelX + 1 66217 KachelY + 1 44553 0.03264503 0.86955859 1.870422 49.822037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86958951-0.86955859) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dl = 196.991319999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86958951-0.86955859) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dr = 196.991319999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03259709-0.03264503) × cos(0.86958951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645140242289256 × 6371000     		do = 197.04243590496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03259709-0.03264503) × cos(0.86955859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.645163866845237 × 6371000     		du = 197.049651452453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86958951)-sin(0.86955859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645140242289256-0.645163866845237)×R²
    abs(0.03264503-0.03259709)×2.36245559813719e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36245559813719e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36245559813719e-05×40589641000000     		ar = 38816.3602481857m²