Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66213 / 44322
↖ ↑ ↗
← N 50.229638°
E  1.859436°		 ← 195.38 m → N 50.229638°
E  1.862183°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.227881°
E  1.859436°		 ← 195.39 m →
38 166 m²		 N 50.227881°
E  1.862183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505168914794922 y=0.338153839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505168914794922 × 217)
    floor (0.505168914794922 × 131072)
    floor (66213.5)     		tx = 66213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338153839111328 × 217)
    floor (0.338153839111328 × 131072)
    floor (44322.5)     		ty = 44322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66213 / 44322 ti = "17/66213/44322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66213/44322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66213 ÷ 217
    66213 ÷ 131072     		x = 0.505165100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44322 ÷ 217
    44322 ÷ 131072     		y = 0.338150024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505165100097656 × 2 - 1) × π
    0.0103302001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03245328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338150024414062 × 2 - 1) × π
    0.323699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01693338853987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03245328} λ = 0.03245328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01693338853987))-π/2
    2×atan(2.76470347950948)-π/2
    2×1.2237344452641-π/2
    2.44746889052819-1.57079632675     		φ = 0.87667256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03245328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.859436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87667256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.229638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66213 KachelY 44322 0.03245328 0.87667256 1.859436 50.229638
    Oben rechts KachelX + 1 66214 KachelY 44322 0.03250122 0.87667256 1.862183 50.229638
    Unten links KachelX 66213 KachelY + 1 44323 0.03245328 0.87664190 1.859436 50.227881
    Unten rechts KachelX + 1 66214 KachelY + 1 44323 0.03250122 0.87664190 1.862183 50.227881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87667256-0.87664190) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dl = 195.334860000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87667256-0.87664190) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dr = 195.334860000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03245328-0.03250122) × cos(0.87667256) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.63971219962142 × 6371000     		do = 195.384571956385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03245328-0.03250122) × cos(0.87664190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.639735765042348 × 6371000     		du = 195.39176944251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87667256)-sin(0.87664190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63971219962142-0.639735765042348)×R²
    abs(0.03250122-0.03245328)×2.35654209282954e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35654209282954e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35654209282954e-05×40589641000000     		ar = 38166.1209723124m²