Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66199 / 44315
↖ ↑ ↗
← N 50.241936°
E  1.820984°		 ← 195.33 m → N 50.241936°
E  1.823730°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.240179°
E  1.820984°		 ← 195.34 m →
38 156 m²		 N 50.240179°
E  1.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505062103271484 y=0.338100433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505062103271484 × 217)
    floor (0.505062103271484 × 131072)
    floor (66199.5)     		tx = 66199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338100433349609 × 217)
    floor (0.338100433349609 × 131072)
    floor (44315.5)     		ty = 44315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66199 / 44315 ti = "17/66199/44315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66199/44315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66199 ÷ 217
    66199 ÷ 131072     		x = 0.505058288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44315 ÷ 217
    44315 ÷ 131072     		y = 0.338096618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505058288574219 × 2 - 1) × π
    0.0101165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03178216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338096618652344 × 2 - 1) × π
    0.323806762695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01726894683721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03178216} λ = 0.03178216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01726894683721))-π/2
    2×atan(2.76563135437106)-π/2
    2×1.22384176179117-π/2
    2.44768352358234-1.57079632675     		φ = 0.87688720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03178216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.820984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87688720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.241936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66199 KachelY 44315 0.03178216 0.87688720 1.820984 50.241936
    Oben rechts KachelX + 1 66200 KachelY 44315 0.03183010 0.87688720 1.823730 50.241936
    Unten links KachelX 66199 KachelY + 1 44316 0.03178216 0.87685654 1.820984 50.240179
    Unten rechts KachelX + 1 66200 KachelY + 1 44316 0.03183010 0.87685654 1.823730 50.240179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87688720-0.87685654) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87688720-0.87685654) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03178216-0.03183010) × cos(0.87688720) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.639547209463264 × 6371000     		do = 195.334179715266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03178216-0.03183010) × cos(0.87685654) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.639570779093585 × 6371000     		du = 195.341378487048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87688720)-sin(0.87685654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639547209463264-0.639570779093585)×R²
    abs(0.03183010-0.03178216)×2.35696303207966e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35696303207966e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35696303207966e-05×40589641000000     		ar = 38156.2777363303m²