Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66194 / 44445
↖ ↑ ↗
← N 50.013034°
E  1.807251°		 ← 196.27 m → N 50.013034°
E  1.809998°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
N 50.011269°
E  1.807251°		 ← 196.28 m →
38 527 m²		 N 50.011269°
E  1.809998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505023956298828 y=0.339092254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505023956298828 × 217)
    floor (0.505023956298828 × 131072)
    floor (66194.5)     		tx = 66194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339092254638672 × 217)
    floor (0.339092254638672 × 131072)
    floor (44445.5)     		ty = 44445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66194 / 44445 ti = "17/66194/44445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66194/44445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66194 ÷ 217
    66194 ÷ 131072     		x = 0.505020141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44445 ÷ 217
    44445 ÷ 131072     		y = 0.339088439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505020141601562 × 2 - 1) × π
    0.010040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03154248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339088439941406 × 2 - 1) × π
    0.321823120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0110371498866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03154248} λ = 0.03154248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0110371498866))-π/2
    2×atan(2.74845009200285)-π/2
    2×1.22184422191129-π/2
    2.44368844382258-1.57079632675     		φ = 0.87289212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03154248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.807251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87289212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.013034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66194 KachelY 44445 0.03154248 0.87289212 1.807251 50.013034
    Oben rechts KachelX + 1 66195 KachelY 44445 0.03159042 0.87289212 1.809998 50.013034
    Unten links KachelX 66194 KachelY + 1 44446 0.03154248 0.87286131 1.807251 50.011269
    Unten rechts KachelX + 1 66195 KachelY + 1 44446 0.03159042 0.87286131 1.809998 50.011269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87289212-0.87286131) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dl = 196.290510000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87289212-0.87286131) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dr = 196.290510000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03154248-0.03159042) × cos(0.87289212) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.642613322538067 × 6371000     		do = 196.270649570061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03154248-0.03159042) × cos(0.87286131) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.642636928567099 × 6371000     		du = 196.277859458947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87289212)-sin(0.87286131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642613322538067-0.642636928567099)×R²
    abs(0.03159042-0.03154248)×2.36060290320639e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.36060290320639e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.36060290320639e-05×40589641000000     		ar = 38526.7735216034m²