Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66191 / 44420
↖ ↑ ↗
← N 50.057139°
E  1.799011°		 ← 196.09 m → N 50.057139°
E  1.801758°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
N 50.055375°
E  1.799011°		 ← 196.10 m →
38 454 m²		 N 50.055375°
E  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505001068115234 y=0.338901519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505001068115234 × 217)
    floor (0.505001068115234 × 131072)
    floor (66191.5)     		tx = 66191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338901519775391 × 217)
    floor (0.338901519775391 × 131072)
    floor (44420.5)     		ty = 44420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66191 / 44420 ti = "17/66191/44420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66191/44420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66191 ÷ 217
    66191 ÷ 131072     		x = 0.504997253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44420 ÷ 217
    44420 ÷ 131072     		y = 0.338897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504997253417969 × 2 - 1) × π
    0.0099945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03139867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338897705078125 × 2 - 1) × π
    0.32220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01223557237711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03139867} λ = 0.03139867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01223557237711))-π/2
    2×atan(2.75174587088043)-π/2
    2×1.22222910627251-π/2
    2.44445821254502-1.57079632675     		φ = 0.87366189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03139867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.799011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87366189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.057139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66191 KachelY 44420 0.03139867 0.87366189 1.799011 50.057139
    Oben rechts KachelX + 1 66192 KachelY 44420 0.03144661 0.87366189 1.801758 50.057139
    Unten links KachelX 66191 KachelY + 1 44421 0.03139867 0.87363111 1.799011 50.055375
    Unten rechts KachelX + 1 66192 KachelY + 1 44421 0.03144661 0.87363111 1.801758 50.055375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87366189-0.87363111) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dl = 196.099380000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87366189-0.87363111) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dr = 196.099380000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03139867-0.03144661) × cos(0.87366189) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.642023341627955 × 6371000     		do = 196.090454214004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03139867-0.03144661) × cos(0.87363111) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.642046939890924 × 6371000     		du = 196.097661730934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87366189)-sin(0.87363111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642023341627955-0.642046939890924)×R²
    abs(0.03144661-0.03139867)×2.3598262969049e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.3598262969049e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.3598262969049e-05×40589641000000     		ar = 38453.9231930571m²