Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66185 / 44120
↖ ↑ ↗
← N 50.583237°
E  1.782532°		 ← 193.89 m → N 50.583237°
E  1.785278°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
N 50.581493°
E  1.782532°		 ← 193.90 m →
37 603 m²		 N 50.581493°
E  1.785278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504955291748047 y=0.336612701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504955291748047 × 217)
    floor (0.504955291748047 × 131072)
    floor (66185.5)     		tx = 66185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336612701416016 × 217)
    floor (0.336612701416016 × 131072)
    floor (44120.5)     		ty = 44120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66185 / 44120 ti = "17/66185/44120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66185/44120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66185 ÷ 217
    66185 ÷ 131072     		x = 0.504951477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44120 ÷ 217
    44120 ÷ 131072     		y = 0.33660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504951477050781 × 2 - 1) × π
    0.0099029541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03111105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33660888671875 × 2 - 1) × π
    0.3267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02661664226312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03111105} λ = 0.03111105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02661664226312))-π/2
    2×atan(2.79160484092408)-π/2
    2×1.22682017600999-π/2
    2.45364035201998-1.57079632675     		φ = 0.88284403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03111105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.782532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88284403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.583237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66185 KachelY 44120 0.03111105 0.88284403 1.782532 50.583237
    Oben rechts KachelX + 1 66186 KachelY 44120 0.03115898 0.88284403 1.785278 50.583237
    Unten links KachelX 66185 KachelY + 1 44121 0.03111105 0.88281359 1.782532 50.581493
    Unten rechts KachelX + 1 66186 KachelY + 1 44121 0.03115898 0.88281359 1.785278 50.581493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88284403-0.88281359) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88284403-0.88281359) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03111105-0.03115898) × cos(0.88284403) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.634956565860937 × 6371000     		do = 193.891625913117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03111105-0.03115898) × cos(0.88281359) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.634980081922899 × 6371000     		du = 193.898806825535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88284403)-sin(0.88281359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634956565860937-0.634980081922899)×R²
    abs(0.03115898-0.03111105)×2.35160619619368e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.35160619619368e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.35160619619368e-05×40589641000000     		ar = 37602.7275339527m²