Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66165 / 44255
↖ ↑ ↗
← N 50.347213°
E  1.727600°		 ← 194.90 m → N 50.347213°
E  1.730347°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 50.345461°
E  1.727600°		 ← 194.91 m →
37 985 m²		 N 50.345461°
E  1.730347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504802703857422 y=0.337642669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504802703857422 × 217)
    floor (0.504802703857422 × 131072)
    floor (66165.5)     		tx = 66165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337642669677734 × 217)
    floor (0.337642669677734 × 131072)
    floor (44255.5)     		ty = 44255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66165 / 44255 ti = "17/66165/44255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66165/44255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66165 ÷ 217
    66165 ÷ 131072     		x = 0.504798889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44255 ÷ 217
    44255 ÷ 131072     		y = 0.337638854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504798889160156 × 2 - 1) × π
    0.0095977783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03015231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337638854980469 × 2 - 1) × π
    0.324722290039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.02014516081441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03015231} λ = 0.03015231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02014516081441))-π/2
    2×atan(2.77359735239409)-π/2
    2×1.22476048252479-π/2
    2.44952096504957-1.57079632675     		φ = 0.87872464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03015231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.727600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87872464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.347213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66165 KachelY 44255 0.03015231 0.87872464 1.727600 50.347213
    Oben rechts KachelX + 1 66166 KachelY 44255 0.03020025 0.87872464 1.730347 50.347213
    Unten links KachelX 66165 KachelY + 1 44256 0.03015231 0.87869405 1.727600 50.345461
    Unten rechts KachelX + 1 66166 KachelY + 1 44256 0.03020025 0.87869405 1.730347 50.345461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87872464-0.87869405) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87872464-0.87869405) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03015231-0.03020025) × cos(0.87872464) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.638133595291861 × 6371000     		do = 194.902425560876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03015231-0.03020025) × cos(0.87869405) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.638157147019085 × 6371000     		du = 194.909618864592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87872464)-sin(0.87869405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638133595291861-0.638157147019085)×R²
    abs(0.03020025-0.03015231)×2.35517272232366e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.35517272232366e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.35517272232366e-05×40589641000000     		ar = 37985.0183262894m²