Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66160 / 44273
↖ ↑ ↗
← N 50.315654°
E  1.713867°		 ← 194.99 m → N 50.315654°
E  1.716614°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.313900°
E  1.713867°		 ← 195 m →
38 027 m²		 N 50.313900°
E  1.716614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504764556884766 y=0.337779998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504764556884766 × 217)
    floor (0.504764556884766 × 131072)
    floor (66160.5)     		tx = 66160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337779998779297 × 217)
    floor (0.337779998779297 × 131072)
    floor (44273.5)     		ty = 44273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66160 / 44273 ti = "17/66160/44273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66160/44273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66160 ÷ 217
    66160 ÷ 131072     		x = 0.5047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44273 ÷ 217
    44273 ÷ 131072     		y = 0.337776184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5047607421875 × 2 - 1) × π
    0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337776184082031 × 2 - 1) × π
    0.324447631835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.01928229662125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02991263} λ = 0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01928229662125))-π/2
    2×atan(2.77120514677517)-π/2
    2×1.22448507975262-π/2
    2.44897015950525-1.57079632675     		φ = 0.87817383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87817383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.315654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66160 KachelY 44273 0.02991263 0.87817383 1.713867 50.315654
    Oben rechts KachelX + 1 66161 KachelY 44273 0.02996056 0.87817383 1.716614 50.315654
    Unten links KachelX 66160 KachelY + 1 44274 0.02991263 0.87814322 1.713867 50.313900
    Unten rechts KachelX + 1 66161 KachelY + 1 44274 0.02996056 0.87814322 1.716614 50.313900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87817383-0.87814322) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87817383-0.87814322) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02991263-0.02996056) × cos(0.87817383) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.638557581218365 × 6371000     		do = 194.991239272736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02991263-0.02996056) × cos(0.87814322) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.638581137580818 × 6371000     		du = 194.998432491394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87817383)-sin(0.87814322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638557581218365-0.638581137580818)×R²
    abs(0.02996056-0.02991263)×2.35563624525481e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35563624525481e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35563624525481e-05×40589641000000     		ar = 38027.1733658075m²