Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66155 / 44380
↖ ↑ ↗
← N 50.127622°
E  1.700134°		 ← 195.80 m → N 50.127622°
E  1.702881°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
N 50.125861°
E  1.700134°		 ← 195.81 m →
38 348 m²		 N 50.125861°
E  1.702881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504726409912109 y=0.338596343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504726409912109 × 217)
    floor (0.504726409912109 × 131072)
    floor (66155.5)     		tx = 66155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338596343994141 × 217)
    floor (0.338596343994141 × 131072)
    floor (44380.5)     		ty = 44380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66155 / 44380 ti = "17/66155/44380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66155/44380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66155 ÷ 217
    66155 ÷ 131072     		x = 0.504722595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44380 ÷ 217
    44380 ÷ 131072     		y = 0.338592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504722595214844 × 2 - 1) × π
    0.0094451904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02967294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338592529296875 × 2 - 1) × π
    0.32281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01415304836191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02967294} λ = 0.02967294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01415304836191))-π/2
    2×atan(2.75702733943048)-π/2
    2×1.2228441860647-π/2
    2.44568837212941-1.57079632675     		φ = 0.87489205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02967294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.700134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87489205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.127622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66155 KachelY 44380 0.02967294 0.87489205 1.700134 50.127622
    Oben rechts KachelX + 1 66156 KachelY 44380 0.02972088 0.87489205 1.702881 50.127622
    Unten links KachelX 66155 KachelY + 1 44381 0.02967294 0.87486131 1.700134 50.125861
    Unten rechts KachelX + 1 66156 KachelY + 1 44381 0.02972088 0.87486131 1.702881 50.125861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87489205-0.87486131) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87489205-0.87486131) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02967294-0.02972088) × cos(0.87489205) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.641079710749398 × 6371000     		do = 195.802245054634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02967294-0.02972088) × cos(0.87486131) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.641103302606549 × 6371000     		du = 195.809450615062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87489205)-sin(0.87486131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641079710749398-0.641103302606549)×R²
    abs(0.02972088-0.02967294)×2.35918571510618e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35918571510618e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35918571510618e-05×40589641000000     		ar = 38347.50620164m²