Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66151 / 44325
↖ ↑ ↗
← N 50.224366°
E  1.689148°		 ← 195.41 m → N 50.224366°
E  1.691895°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
N 50.222609°
E  1.689148°		 ← 195.41 m →
38 183 m²		 N 50.222609°
E  1.691895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504695892333984 y=0.338176727294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504695892333984 × 217)
    floor (0.504695892333984 × 131072)
    floor (66151.5)     		tx = 66151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338176727294922 × 217)
    floor (0.338176727294922 × 131072)
    floor (44325.5)     		ty = 44325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66151 / 44325 ti = "17/66151/44325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66151/44325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66151 ÷ 217
    66151 ÷ 131072     		x = 0.504692077636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44325 ÷ 217
    44325 ÷ 131072     		y = 0.338172912597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504692077636719 × 2 - 1) × π
    0.0093841552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02948119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338172912597656 × 2 - 1) × π
    0.323654174804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.01678957784101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02948119} λ = 0.02948119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01678957784101))-π/2
    2×atan(2.76430591415771)-π/2
    2×1.22368844399279-π/2
    2.44737688798558-1.57079632675     		φ = 0.87658056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02948119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.689148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87658056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.224366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66151 KachelY 44325 0.02948119 0.87658056 1.689148 50.224366
    Oben rechts KachelX + 1 66152 KachelY 44325 0.02952913 0.87658056 1.691895 50.224366
    Unten links KachelX 66151 KachelY + 1 44326 0.02948119 0.87654989 1.689148 50.222609
    Unten rechts KachelX + 1 66152 KachelY + 1 44326 0.02952913 0.87654989 1.691895 50.222609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87658056-0.87654989) × R
    3.06699999998994e-05 × 6371000     		dl = 195.398569999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87658056-0.87654989) × R
    3.06699999998994e-05 × 6371000     		dr = 195.398569999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02948119-0.02952913) × cos(0.87658056) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.639782909451173 × 6371000     		do = 195.406168558477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02948119-0.02952913) × cos(0.87654989) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.63980648075288 × 6371000     		du = 195.413367840743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87658056)-sin(0.87654989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639782909451173-0.63980648075288)×R²
    abs(0.02952913-0.02948119)×2.35713017068262e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.35713017068262e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.35713017068262e-05×40589641000000     		ar = 38182.7892730618m²