Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66138 / 43745
↖ ↑ ↗
← N 51.232687°
E  1.653442°		 ← 191.25 m → N 51.232687°
E  1.656189°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
N 51.230968°
E  1.653442°		 ← 191.25 m →
36 566 m²		 N 51.230968°
E  1.656189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504596710205078 y=0.333751678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504596710205078 × 217)
    floor (0.504596710205078 × 131072)
    floor (66138.5)     		tx = 66138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333751678466797 × 217)
    floor (0.333751678466797 × 131072)
    floor (43745.5)     		ty = 43745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66138 / 43745 ti = "17/66138/43745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66138/43745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66138 ÷ 217
    66138 ÷ 131072     		x = 0.504592895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43745 ÷ 217
    43745 ÷ 131072     		y = 0.333747863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504592895507812 × 2 - 1) × π
    0.009185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02885801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333747863769531 × 2 - 1) × π
    0.332504272460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.04459297962064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02885801} λ = 0.02885801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04459297962064))-π/2
    2×atan(2.84224143800071)-π/2
    2×1.2324877049028-π/2
    2.46497540980559-1.57079632675     		φ = 0.89417908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02885801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.653442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89417908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.232687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66138 KachelY 43745 0.02885801 0.89417908 1.653442 51.232687
    Oben rechts KachelX + 1 66139 KachelY 43745 0.02890595 0.89417908 1.656189 51.232687
    Unten links KachelX 66138 KachelY + 1 43746 0.02885801 0.89414907 1.653442 51.230968
    Unten rechts KachelX + 1 66139 KachelY + 1 43746 0.02890595 0.89414907 1.656189 51.230968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89417908-0.89414907) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dl = 191.193710000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89417908-0.89414907) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dr = 191.193710000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02885801-0.02890595) × cos(0.89417908) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.626159094786501 × 6371000     		do = 191.245104882896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02885801-0.02890595) × cos(0.89414907) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.626182493161014 × 6371000     		du = 191.252251348747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89417908)-sin(0.89414907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626159094786501-0.626182493161014)×R²
    abs(0.02890595-0.02885801)×2.33983745130395e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.33983745130395e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.33983745130395e-05×40589641000000     		ar = 36565.544304429m²