Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66134 / 44459
↖ ↑ ↗
← N 49.988318°
E  1.642456°		 ← 196.33 m → N 49.988318°
E  1.645202°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
N 49.986552°
E  1.642456°		 ← 196.34 m →
38 551 m²		 N 49.986552°
E  1.645202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504566192626953 y=0.339199066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504566192626953 × 217)
    floor (0.504566192626953 × 131072)
    floor (66134.5)     		tx = 66134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339199066162109 × 217)
    floor (0.339199066162109 × 131072)
    floor (44459.5)     		ty = 44459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66134 / 44459 ti = "17/66134/44459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66134/44459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66134 ÷ 217
    66134 ÷ 131072     		x = 0.504562377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44459 ÷ 217
    44459 ÷ 131072     		y = 0.339195251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504562377929688 × 2 - 1) × π
    0.009124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02866627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339195251464844 × 2 - 1) × π
    0.321609497070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01036603329192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02866627} λ = 0.02866627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01036603329192))-π/2
    2×atan(2.74660618034552)-π/2
    2×1.22162853223544-π/2
    2.44325706447088-1.57079632675     		φ = 0.87246074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02866627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.642456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87246074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.988318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66134 KachelY 44459 0.02866627 0.87246074 1.642456 49.988318
    Oben rechts KachelX + 1 66135 KachelY 44459 0.02871420 0.87246074 1.645202 49.988318
    Unten links KachelX 66134 KachelY + 1 44460 0.02866627 0.87242992 1.642456 49.986552
    Unten rechts KachelX + 1 66135 KachelY + 1 44460 0.02871420 0.87242992 1.645202 49.986552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87246074-0.87242992) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dl = 196.354219999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87246074-0.87242992) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dr = 196.354219999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02866627-0.02871420) × cos(0.87246074) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.642943782060435 × 6371000     		do = 196.330618465844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02866627-0.02871420) × cos(0.87242992) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.642967387205193 × 6371000     		du = 196.337826580766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87246074)-sin(0.87242992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642943782060435-0.642967387205193)×R²
    abs(0.02871420-0.02866627)×2.36051447579655e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.36051447579655e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.36051447579655e-05×40589641000000     		ar = 38551.0531259952m²