Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66098 / 44316
↖ ↑ ↗
← N 50.240179°
E  1.543579°		 ← 195.30 m → N 50.240179°
E  1.546325°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.238422°
E  1.543579°		 ← 195.31 m →
38 150 m²		 N 50.238422°
E  1.546325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504291534423828 y=0.338108062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504291534423828 × 217)
    floor (0.504291534423828 × 131072)
    floor (66098.5)     		tx = 66098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338108062744141 × 217)
    floor (0.338108062744141 × 131072)
    floor (44316.5)     		ty = 44316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66098 / 44316 ti = "17/66098/44316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66098/44316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66098 ÷ 217
    66098 ÷ 131072     		x = 0.504287719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44316 ÷ 217
    44316 ÷ 131072     		y = 0.338104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504287719726562 × 2 - 1) × π
    0.008575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02694054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338104248046875 × 2 - 1) × π
    0.32379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01722100993759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02694054} λ = 0.02694054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01722100993759))-π/2
    2×atan(2.76549878175602)-π/2
    2×1.22382643255347-π/2
    2.44765286510694-1.57079632675     		φ = 0.87685654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02694054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.543579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87685654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.240179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66098 KachelY 44316 0.02694054 0.87685654 1.543579 50.240179
    Oben rechts KachelX + 1 66099 KachelY 44316 0.02698847 0.87685654 1.546325 50.240179
    Unten links KachelX 66098 KachelY + 1 44317 0.02694054 0.87682588 1.543579 50.238422
    Unten rechts KachelX + 1 66099 KachelY + 1 44317 0.02698847 0.87682588 1.546325 50.238422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87685654-0.87682588) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dl = 195.334860000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87685654-0.87682588) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dr = 195.334860000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02694054-0.02698847) × cos(0.87685654) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.639570779093585 × 6371000     		do = 195.300631432705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02694054-0.02698847) × cos(0.87682588) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.639594348122687 × 6371000     		du = 195.307828519277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87685654)-sin(0.87682588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639570779093585-0.639594348122687)×R²
    abs(0.02698847-0.02694054)×2.35690291016111e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35690291016111e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35690291016111e-05×40589641000000     		ar = 38149.7244228181m²