Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66084 / 44473
↖ ↑ ↗
← N 49.963589°
E  1.505127°		 ← 196.47 m → N 49.963589°
E  1.507874°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
N 49.961822°
E  1.505127°		 ← 196.48 m →
38 604 m²		 N 49.961822°
E  1.507874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504184722900391 y=0.339305877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504184722900391 × 217)
    floor (0.504184722900391 × 131072)
    floor (66084.5)     		tx = 66084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339305877685547 × 217)
    floor (0.339305877685547 × 131072)
    floor (44473.5)     		ty = 44473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66084 / 44473 ti = "17/66084/44473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66084/44473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66084 ÷ 217
    66084 ÷ 131072     		x = 0.504180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44473 ÷ 217
    44473 ÷ 131072     		y = 0.339302062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504180908203125 × 2 - 1) × π
    0.00836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02626942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339302062988281 × 2 - 1) × π
    0.321395874023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.00969491669724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02626942} λ = 0.02626942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00969491669724))-π/2
    2×atan(2.74476350575274)-π/2
    2×1.2214127316629-π/2
    2.44282546332579-1.57079632675     		φ = 0.87202914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02626942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.505127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87202914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.963589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66084 KachelY 44473 0.02626942 0.87202914 1.505127 49.963589
    Oben rechts KachelX + 1 66085 KachelY 44473 0.02631736 0.87202914 1.507874 49.963589
    Unten links KachelX 66084 KachelY + 1 44474 0.02626942 0.87199830 1.505127 49.961822
    Unten rechts KachelX + 1 66085 KachelY + 1 44474 0.02631736 0.87199830 1.507874 49.961822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87202914-0.87199830) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87202914-0.87199830) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02626942-0.02631736) × cos(0.87202914) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.643274290378124 × 6371000     		do = 196.472526161712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02626942-0.02631736) × cos(0.87199830) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.643297902280464 × 6371000     		du = 196.479737844458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87202914)-sin(0.87199830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643274290378124-0.643297902280464)×R²
    abs(0.02631736-0.02626942)×2.36119023405701e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36119023405701e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36119023405701e-05×40589641000000     		ar = 38603.95263982m²