Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66082 / 44474
↖ ↑ ↗
← N 49.961822°
E  1.499634°		 ← 196.44 m → N 49.961822°
E  1.502380°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
N 49.960055°
E  1.499634°		 ← 196.45 m →
38 597 m²		 N 49.960055°
E  1.502380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504169464111328 y=0.339313507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504169464111328 × 217)
    floor (0.504169464111328 × 131072)
    floor (66082.5)     		tx = 66082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339313507080078 × 217)
    floor (0.339313507080078 × 131072)
    floor (44474.5)     		ty = 44474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66082 / 44474 ti = "17/66082/44474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66082/44474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66082 ÷ 217
    66082 ÷ 131072     		x = 0.504165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44474 ÷ 217
    44474 ÷ 131072     		y = 0.339309692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504165649414062 × 2 - 1) × π
    0.008331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02617355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339309692382812 × 2 - 1) × π
    0.321380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00964697979762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02617355} λ = 0.02617355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00964697979762))-π/2
    2×atan(2.7446319334537)-π/2
    2×1.22139731309235-π/2
    2.44279462618469-1.57079632675     		φ = 0.87199830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02617355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.499634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87199830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.961822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66082 KachelY 44474 0.02617355 0.87199830 1.499634 49.961822
    Oben rechts KachelX + 1 66083 KachelY 44474 0.02622148 0.87199830 1.502380 49.961822
    Unten links KachelX 66082 KachelY + 1 44475 0.02617355 0.87196746 1.499634 49.960055
    Unten rechts KachelX + 1 66083 KachelY + 1 44475 0.02622148 0.87196746 1.502380 49.960055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87199830-0.87196746) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87199830-0.87196746) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02617355-0.02622148) × cos(0.87199830) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.643297902280464 × 6371000     		do = 196.438753335096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02617355-0.02622148) × cos(0.87196746) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.64332151357096 × 6371000     		du = 196.445963326693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87199830)-sin(0.87196746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643297902280464-0.64332151357096)×R²
    abs(0.02622148-0.02617355)×2.36112904963282e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.36112904963282e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.36112904963282e-05×40589641000000     		ar = 38597.3167333042m²