Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66079 / 44510
↖ ↑ ↗
← N 49.898173°
E  1.491394°		 ← 196.70 m → N 49.898173°
E  1.494140°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
N 49.896404°
E  1.491394°		 ← 196.71 m →
38 698 m²		 N 49.896404°
E  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504146575927734 y=0.339588165283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504146575927734 × 217)
    floor (0.504146575927734 × 131072)
    floor (66079.5)     		tx = 66079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339588165283203 × 217)
    floor (0.339588165283203 × 131072)
    floor (44510.5)     		ty = 44510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66079 / 44510 ti = "17/66079/44510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66079/44510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66079 ÷ 217
    66079 ÷ 131072     		x = 0.504142761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44510 ÷ 217
    44510 ÷ 131072     		y = 0.339584350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504142761230469 × 2 - 1) × π
    0.0082855224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02602974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339584350585938 × 2 - 1) × π
    0.320831298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0079212514113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02602974} λ = 0.02602974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0079212514113))-π/2
    2×atan(2.73989952881312)-π/2
    2×1.22084186762163-π/2
    2.44168373524326-1.57079632675     		φ = 0.87088741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02602974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.491394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87088741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.898173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66079 KachelY 44510 0.02602974 0.87088741 1.491394 49.898173
    Oben rechts KachelX + 1 66080 KachelY 44510 0.02607767 0.87088741 1.494140 49.898173
    Unten links KachelX 66079 KachelY + 1 44511 0.02602974 0.87085653 1.491394 49.896404
    Unten rechts KachelX + 1 66080 KachelY + 1 44511 0.02607767 0.87085653 1.494140 49.896404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87088741-0.87085653) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dl = 196.736480000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87088741-0.87085653) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dr = 196.736480000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02602974-0.02607767) × cos(0.87088741) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.644148020287708 × 6371000     		do = 196.698347095542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02602974-0.02607767) × cos(0.87085653) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.644171640119186 × 6371000     		du = 196.705559695231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87088741)-sin(0.87085653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644148020287708-0.644171640119186)×R²
    abs(0.02607767-0.02602974)×2.3619831478694e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3619831478694e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3619831478694e-05×40589641000000     		ar = 38698.4499232179m²