Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66073 / 44553
↖ ↑ ↗
← N 49.822037°
E  1.474915°		 ← 197.01 m → N 49.822037°
E  1.477661°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 49.820265°
E  1.474915°		 ← 197.02 m →
38 822 m²		 N 49.820265°
E  1.477661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504100799560547 y=0.339916229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504100799560547 × 217)
    floor (0.504100799560547 × 131072)
    floor (66073.5)     		tx = 66073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339916229248047 × 217)
    floor (0.339916229248047 × 131072)
    floor (44553.5)     		ty = 44553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66073 / 44553 ti = "17/66073/44553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66073/44553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66073 ÷ 217
    66073 ÷ 131072     		x = 0.504096984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44553 ÷ 217
    44553 ÷ 131072     		y = 0.339912414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504096984863281 × 2 - 1) × π
    0.0081939697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02574212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339912414550781 × 2 - 1) × π
    0.320175170898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.00585996472764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02574212} λ = 0.02574212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00585996472764))-π/2
    2×atan(2.73425762718581)-π/2
    2×1.22017745730387-π/2
    2.44035491460774-1.57079632675     		φ = 0.86955859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02574212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.474915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86955859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.822037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66073 KachelY 44553 0.02574212 0.86955859 1.474915 49.822037
    Oben rechts KachelX + 1 66074 KachelY 44553 0.02579005 0.86955859 1.477661 49.822037
    Unten links KachelX 66073 KachelY + 1 44554 0.02574212 0.86952766 1.474915 49.820265
    Unten rechts KachelX + 1 66074 KachelY + 1 44554 0.02579005 0.86952766 1.477661 49.820265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86955859-0.86952766) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86955859-0.86952766) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02574212-0.02579005) × cos(0.86955859) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.645163866845237 × 6371000     		do = 197.008548062504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02574212-0.02579005) × cos(0.86952766) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.645187498424655 × 6371000     		du = 197.015764249567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86955859)-sin(0.86952766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645163866845237-0.645187498424655)×R²
    abs(0.02579005-0.02574212)×2.36315794175379e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.36315794175379e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.36315794175379e-05×40589641000000     		ar = 38822.2363447042m²