Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66070 / 44557
↖ ↑ ↗
← N 49.814949°
E  1.466675°		 ← 197.08 m → N 49.814949°
E  1.469421°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 49.813176°
E  1.466675°		 ← 197.09 m →
38 836 m²		 N 49.813176°
E  1.469421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504077911376953 y=0.339946746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504077911376953 × 217)
    floor (0.504077911376953 × 131072)
    floor (66070.5)     		tx = 66070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339946746826172 × 217)
    floor (0.339946746826172 × 131072)
    floor (44557.5)     		ty = 44557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66070 / 44557 ti = "17/66070/44557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66070/44557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66070 ÷ 217
    66070 ÷ 131072     		x = 0.504074096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44557 ÷ 217
    44557 ÷ 131072     		y = 0.339942932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504074096679688 × 2 - 1) × π
    0.008148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02559830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339942932128906 × 2 - 1) × π
    0.320114135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.00566821712916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02559830} λ = 0.02559830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00566821712916))-π/2
    2×atan(2.73373339011438)-π/2
    2×1.22011559846166-π/2
    2.44023119692331-1.57079632675     		φ = 0.86943487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02559830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.466675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86943487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.814949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66070 KachelY 44557 0.02559830 0.86943487 1.466675 49.814949
    Oben rechts KachelX + 1 66071 KachelY 44557 0.02564624 0.86943487 1.469421 49.814949
    Unten links KachelX 66070 KachelY + 1 44558 0.02559830 0.86940394 1.466675 49.813176
    Unten rechts KachelX + 1 66071 KachelY + 1 44558 0.02564624 0.86940394 1.469421 49.813176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86943487-0.86940394) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86943487-0.86940394) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02559830-0.02564624) × cos(0.86943487) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645258389459448 × 6371000     		do = 197.078521091859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02559830-0.02564624) × cos(0.86940394) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645282018569817 × 6371000     		du = 197.085738030379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86943487)-sin(0.86940394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645258389459448-0.645282018569817)×R²
    abs(0.02564624-0.02559830)×2.36291103690167e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36291103690167e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36291103690167e-05×40589641000000     		ar = 38836.0249561822m²