Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66070 / 44513
↖ ↑ ↗
← N 49.892865°
E  1.466675°		 ← 196.76 m → N 49.892865°
E  1.469421°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
N 49.891096°
E  1.466675°		 ← 196.77 m →
38 711 m²		 N 49.891096°
E  1.469421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504077911376953 y=0.339611053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504077911376953 × 217)
    floor (0.504077911376953 × 131072)
    floor (66070.5)     		tx = 66070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339611053466797 × 217)
    floor (0.339611053466797 × 131072)
    floor (44513.5)     		ty = 44513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66070 / 44513 ti = "17/66070/44513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66070/44513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66070 ÷ 217
    66070 ÷ 131072     		x = 0.504074096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44513 ÷ 217
    44513 ÷ 131072     		y = 0.339607238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504074096679688 × 2 - 1) × π
    0.008148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02559830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339607238769531 × 2 - 1) × π
    0.320785522460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00777744071244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02559830} λ = 0.02559830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00777744071244))-π/2
    2×atan(2.73950553027836)-π/2
    2×1.22079554738554-π/2
    2.44159109477108-1.57079632675     		φ = 0.87079477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02559830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.466675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87079477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.892865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66070 KachelY 44513 0.02559830 0.87079477 1.466675 49.892865
    Oben rechts KachelX + 1 66071 KachelY 44513 0.02564624 0.87079477 1.469421 49.892865
    Unten links KachelX 66070 KachelY + 1 44514 0.02559830 0.87076389 1.466675 49.891096
    Unten rechts KachelX + 1 66071 KachelY + 1 44514 0.02564624 0.87076389 1.469421 49.891096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87079477-0.87076389) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dl = 196.736480000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87079477-0.87076389) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dr = 196.736480000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02559830-0.02564624) × cos(0.87079477) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.644218877939324 × 6371000     		do = 196.761027516587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02559830-0.02564624) × cos(0.87076389) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.644242495927938 × 6371000     		du = 196.768241058237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87079477)-sin(0.87076389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644218877939324-0.644242495927938)×R²
    abs(0.02564624-0.02559830)×2.36179886142773e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36179886142773e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36179886142773e-05×40589641000000     		ar = 38710.7815413168m²