Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66060 / 44470
↖ ↑ ↗
← N 49.968889°
E  1.439209°		 ← 196.41 m → N 49.968889°
E  1.441955°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
N 49.967123°
E  1.439209°		 ← 196.42 m →
38 579 m²		 N 49.967123°
E  1.441955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504001617431641 y=0.339282989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504001617431641 × 217)
    floor (0.504001617431641 × 131072)
    floor (66060.5)     		tx = 66060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339282989501953 × 217)
    floor (0.339282989501953 × 131072)
    floor (44470.5)     		ty = 44470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66060 / 44470 ti = "17/66060/44470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66060/44470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66060 ÷ 217
    66060 ÷ 131072     		x = 0.503997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44470 ÷ 217
    44470 ÷ 131072     		y = 0.339279174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503997802734375 × 2 - 1) × π
    0.00799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02511894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339279174804688 × 2 - 1) × π
    0.321441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0098387273961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02511894} λ = 0.02511894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0098387273961))-π/2
    2×atan(2.74515826049501)-π/2
    2×1.22145898397926-π/2
    2.44291796795852-1.57079632675     		φ = 0.87212164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02511894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87212164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.968889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66060 KachelY 44470 0.02511894 0.87212164 1.439209 49.968889
    Oben rechts KachelX + 1 66061 KachelY 44470 0.02516687 0.87212164 1.441955 49.968889
    Unten links KachelX 66060 KachelY + 1 44471 0.02511894 0.87209081 1.439209 49.967123
    Unten rechts KachelX + 1 66061 KachelY + 1 44471 0.02516687 0.87209081 1.441955 49.967123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87212164-0.87209081) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87212164-0.87209081) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02511894-0.02516687) × cos(0.87212164) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.643203466314167 × 6371000     		do = 196.409916176737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02511894-0.02516687) × cos(0.87209081) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.643227072394754 × 6371000     		du = 196.417124577426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87212164)-sin(0.87209081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643203466314167-0.643227072394754)×R²
    abs(0.02516687-0.02511894)×2.36060805871574e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36060805871574e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36060805871574e-05×40589641000000     		ar = 38579.1370995715m²