Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66055 / 44583
↖ ↑ ↗
← N 49.768848°
E  1.425476°		 ← 197.27 m → N 49.768848°
E  1.428223°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
N 49.767074°
E  1.425476°		 ← 197.27 m →
38 911 m²		 N 49.767074°
E  1.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503963470458984 y=0.340145111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503963470458984 × 217)
    floor (0.503963470458984 × 131072)
    floor (66055.5)     		tx = 66055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340145111083984 × 217)
    floor (0.340145111083984 × 131072)
    floor (44583.5)     		ty = 44583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66055 / 44583 ti = "17/66055/44583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66055/44583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66055 ÷ 217
    66055 ÷ 131072     		x = 0.503959655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44583 ÷ 217
    44583 ÷ 131072     		y = 0.340141296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503959655761719 × 2 - 1) × π
    0.0079193115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02487925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340141296386719 × 2 - 1) × π
    0.319717407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00442185773904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02487925} λ = 0.02487925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00442185773904))-π/2
    2×atan(2.73032829825842)-π/2
    2×1.21971329507766-π/2
    2.43942659015532-1.57079632675     		φ = 0.86863026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02487925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.425476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86863026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.768848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66055 KachelY 44583 0.02487925 0.86863026 1.425476 49.768848
    Oben rechts KachelX + 1 66056 KachelY 44583 0.02492719 0.86863026 1.428223 49.768848
    Unten links KachelX 66055 KachelY + 1 44584 0.02487925 0.86859930 1.425476 49.767074
    Unten rechts KachelX + 1 66056 KachelY + 1 44584 0.02492719 0.86859930 1.428223 49.767074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86863026-0.86859930) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86863026-0.86859930) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02487925-0.02492719) × cos(0.86863026) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645872873923116 × 6371000     		do = 197.266200463893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02487925-0.02492719) × cos(0.86859930) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645896509870014 × 6371000     		du = 197.273419490466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86863026)-sin(0.86859930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645872873923116-0.645896509870014)×R²
    abs(0.02492719-0.02487925)×2.36359468984704e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36359468984704e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36359468984704e-05×40589641000000     		ar = 38910.7125049831m²