Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66049 / 44539
↖ ↑ ↗
← N 49.846839°
E  1.408997°		 ← 196.95 m → N 49.846839°
E  1.411743°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
N 49.845068°
E  1.408997°		 ← 196.96 m →
38 785 m²		 N 49.845068°
E  1.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503917694091797 y=0.339809417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503917694091797 × 217)
    floor (0.503917694091797 × 131072)
    floor (66049.5)     		tx = 66049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339809417724609 × 217)
    floor (0.339809417724609 × 131072)
    floor (44539.5)     		ty = 44539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66049 / 44539 ti = "17/66049/44539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66049/44539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66049 ÷ 217
    66049 ÷ 131072     		x = 0.503913879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44539 ÷ 217
    44539 ÷ 131072     		y = 0.339805603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503913879394531 × 2 - 1) × π
    0.0078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02459163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339805603027344 × 2 - 1) × π
    0.320388793945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00653108132232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02459163} λ = 0.02459163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00653108132232))-π/2
    2×atan(2.7360932487427)-π/2
    2×1.22039389189179-π/2
    2.44078778378358-1.57079632675     		φ = 0.86999146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02459163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.408997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86999146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.846839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66049 KachelY 44539 0.02459163 0.86999146 1.408997 49.846839
    Oben rechts KachelX + 1 66050 KachelY 44539 0.02463957 0.86999146 1.411743 49.846839
    Unten links KachelX 66049 KachelY + 1 44540 0.02459163 0.86996055 1.408997 49.845068
    Unten rechts KachelX + 1 66050 KachelY + 1 44540 0.02463957 0.86996055 1.411743 49.845068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86999146-0.86996055) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86999146-0.86996055) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02459163-0.02463957) × cos(0.86999146) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.644833074585609 × 6371000     		do = 196.948618981784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02459163-0.02463957) × cos(0.86996055) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.644856699514786 × 6371000     		du = 196.95583464326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86999146)-sin(0.86996055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644833074585609-0.644856699514786)×R²
    abs(0.02463957-0.02459163)×2.36249291772905e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36249291772905e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36249291772905e-05×40589641000000     		ar = 38785.3313135698m²