Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66048 / 68087
↖ ↑ ↗
← S  6.989133°
E  1.406250°		 ← 303.16 m → S  6.989133°
E  1.408997°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
S  6.991859°
E  1.406250°		 ← 303.15 m →
91 896 m²		 S  6.991859°
E  1.408997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503910064697266 y=0.519466400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503910064697266 × 217)
    floor (0.503910064697266 × 131072)
    floor (66048.5)     		tx = 66048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519466400146484 × 217)
    floor (0.519466400146484 × 131072)
    floor (68087.5)     		ty = 68087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66048 / 68087 ti = "17/66048/68087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66048/68087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66048 ÷ 217
    66048 ÷ 131072     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68087 ÷ 217
    68087 ÷ 131072     		y = 0.519462585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.519462585449219 × 2 - 1) × π
    -0.0389251708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.122287030930763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122287030930763))-π/2
    2×atan(0.884894340001315)-π/2
    2×0.724406471899653-π/2
    1.44881294379931-1.57079632675     		φ = -0.12198338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12198338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.989133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66048 KachelY 68087 0.02454369 -0.12198338 1.406250 -6.989133
    Oben rechts KachelX + 1 66049 KachelY 68087 0.02459163 -0.12198338 1.408997 -6.989133
    Unten links KachelX 66048 KachelY + 1 68088 0.02454369 -0.12203096 1.406250 -6.991859
    Unten rechts KachelX + 1 66049 KachelY + 1 68088 0.02459163 -0.12203096 1.408997 -6.991859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12198338--0.12203096) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dl = 303.132179999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12198338--0.12203096) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dr = 303.132179999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.02459163) × cos(-0.12198338) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992569248459052 × 6371000     		do = 303.156197211849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.02459163) × cos(-0.12203096) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992563457749402 × 6371000     		du = 303.154428580068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12198338)-sin(-0.12203096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992569248459052-0.992563457749402)×R²
    abs(0.02459163-0.02454369)×5.79070965001094e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.79070965001094e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.79070965001094e-06×40589641000000     		ar = 91896.1308940562m²