Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66046 / 68099
↖ ↑ ↗
← S  7.021846°
E  1.400757°		 ← 303.13 m → S  7.021846°
E  1.403504°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
S  7.024572°
E  1.400757°		 ← 303.13 m →
91 890 m²		 S  7.024572°
E  1.403504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503894805908203 y=0.519557952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503894805908203 × 217)
    floor (0.503894805908203 × 131072)
    floor (66046.5)     		tx = 66046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519557952880859 × 217)
    floor (0.519557952880859 × 131072)
    floor (68099.5)     		ty = 68099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66046 / 68099 ti = "17/66046/68099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66046/68099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66046 ÷ 217
    66046 ÷ 131072     		x = 0.503890991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68099 ÷ 217
    68099 ÷ 131072     		y = 0.519554138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503890991210938 × 2 - 1) × π
    0.007781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02444782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.519554138183594 × 2 - 1) × π
    -0.0391082763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.122862273726204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02444782} λ = 0.02444782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122862273726204))-π/2
    2×atan(0.884385457287093)-π/2
    2×0.724120997751858-π/2
    1.44824199550372-1.57079632675     		φ = -0.12255433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02444782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.400757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12255433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.021846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66046 KachelY 68099 0.02444782 -0.12255433 1.400757 -7.021846
    Oben rechts KachelX + 1 66047 KachelY 68099 0.02449576 -0.12255433 1.403504 -7.021846
    Unten links KachelX 66046 KachelY + 1 68100 0.02444782 -0.12260191 1.400757 -7.024572
    Unten rechts KachelX + 1 66047 KachelY + 1 68100 0.02449576 -0.12260191 1.403504 -7.024572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12255433--0.12260191) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dl = 303.132179999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12255433--0.12260191) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dr = 303.132179999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02444782-0.02449576) × cos(-0.12255433) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992499612865222 × 6371000     		do = 303.134928709073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02444782-0.02449576) × cos(-0.12260191) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992493795192658 × 6371000     		du = 303.133151842125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12255433)-sin(-0.12260191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992499612865222-0.992493795192658)×R²
    abs(0.02449576-0.02444782)×5.81767256468968e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.81767256468968e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.81767256468968e-06×40589641000000     		ar = 91889.6824782779m²