Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66045 / 68085
↖ ↑ ↗
← S  6.983681°
E  1.398010°		 ← 303.16 m → S  6.983681°
E  1.400757°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
S  6.986407°
E  1.398010°		 ← 303.16 m →
91 897 m²		 S  6.986407°
E  1.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503887176513672 y=0.519451141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503887176513672 × 217)
    floor (0.503887176513672 × 131072)
    floor (66045.5)     		tx = 66045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519451141357422 × 217)
    floor (0.519451141357422 × 131072)
    floor (68085.5)     		ty = 68085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66045 / 68085 ti = "17/66045/68085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66045/68085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66045 ÷ 217
    66045 ÷ 131072     		x = 0.503883361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68085 ÷ 217
    68085 ÷ 131072     		y = 0.519447326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503883361816406 × 2 - 1) × π
    0.0077667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02439988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.519447326660156 × 2 - 1) × π
    -0.0388946533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.122191157131523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02439988} λ = 0.02439988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122191157131523))-π/2
    2×atan(0.884979182250626)-π/2
    2×0.724454052869533-π/2
    1.44890810573907-1.57079632675     		φ = -0.12188822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02439988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.398010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12188822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.983681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66045 KachelY 68085 0.02439988 -0.12188822 1.398010 -6.983681
    Oben rechts KachelX + 1 66046 KachelY 68085 0.02444782 -0.12188822 1.400757 -6.983681
    Unten links KachelX 66045 KachelY + 1 68086 0.02439988 -0.12193580 1.398010 -6.986407
    Unten rechts KachelX + 1 66046 KachelY + 1 68086 0.02444782 -0.12193580 1.400757 -6.986407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12188822--0.12193580) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dl = 303.132179999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12188822--0.12193580) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dr = 303.132179999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02439988-0.02444782) × cos(-0.12188822) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992580823137236 × 6371000     		do = 303.159732416498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02439988-0.02444782) × cos(-0.12193580) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992575036921668 × 6371000     		du = 303.157965157326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12188822)-sin(-0.12193580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992580823137236-0.992575036921668)×R²
    abs(0.02444782-0.02439988)×5.7862155684596e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.7862155684596e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.7862155684596e-06×40589641000000     		ar = 91897.2027363653m²