Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66042 / 65818
↖ ↑ ↗
← S  0.774512°
E  1.389770°		 ← 305.40 m → S  0.774512°
E  1.392517°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.777259°
E  1.389770°		 ← 305.40 m →
93 276 m²		 S  0.777259°
E  1.392517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503864288330078 y=0.502155303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503864288330078 × 217)
    floor (0.503864288330078 × 131072)
    floor (66042.5)     		tx = 66042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502155303955078 × 217)
    floor (0.502155303955078 × 131072)
    floor (65818.5)     		ty = 65818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66042 / 65818 ti = "17/66042/65818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66042/65818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66042 ÷ 217
    66042 ÷ 131072     		x = 0.503860473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65818 ÷ 217
    65818 ÷ 131072     		y = 0.502151489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503860473632812 × 2 - 1) × π
    0.007720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02425607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502151489257812 × 2 - 1) × π
    -0.004302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0135182056928558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02425607} λ = 0.02425607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0135182056928558))-π/2
    2×atan(0.986572754913677)-π/2
    2×0.778639266403482-π/2
    1.55727853280696-1.57079632675     		φ = -0.01351779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02425607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.389770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01351779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.774512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66042 KachelY 65818 0.02425607 -0.01351779 1.389770 -0.774512
    Oben rechts KachelX + 1 66043 KachelY 65818 0.02430401 -0.01351779 1.392517 -0.774512
    Unten links KachelX 66042 KachelY + 1 65819 0.02425607 -0.01356573 1.389770 -0.777259
    Unten rechts KachelX + 1 66043 KachelY + 1 65819 0.02430401 -0.01356573 1.392517 -0.777259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01351779--0.01356573) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01351779--0.01356573) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02425607-0.02430401) × cos(-0.01351779) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.99990863606802 × 6371000     		do = 305.397835103464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02425607-0.02430401) × cos(-0.01356573) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999907986895887 × 6371000     		du = 305.397636829585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01351779)-sin(-0.01356573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99990863606802-0.999907986895887)×R²
    abs(0.02430401-0.02425607)×6.49172133049269e-07×R²
    4.79399999999998e-05×6.49172133049269e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×6.49172133049269e-07×40589641000000     		ar = 93276.3295197648m²