Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66041 / 68088
↖ ↑ ↗
← S  6.991859°
E  1.387024°		 ← 303.15 m → S  6.991859°
E  1.389770°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
S  6.994585°
E  1.387024°		 ← 303.15 m →
91 896 m²		 S  6.994585°
E  1.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503856658935547 y=0.519474029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503856658935547 × 217)
    floor (0.503856658935547 × 131072)
    floor (66041.5)     		tx = 66041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519474029541016 × 217)
    floor (0.519474029541016 × 131072)
    floor (68088.5)     		ty = 68088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66041 / 68088 ti = "17/66041/68088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66041/68088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66041 ÷ 217
    66041 ÷ 131072     		x = 0.503852844238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68088 ÷ 217
    68088 ÷ 131072     		y = 0.51947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503852844238281 × 2 - 1) × π
    0.0077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02420813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    -0.0389404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.122334967830383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02420813} λ = 0.02420813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122334967830383))-π/2
    2×atan(0.884851921926867)-π/2
    2×0.724382681622841-π/2
    1.44876536324568-1.57079632675     		φ = -0.12203096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02420813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.387024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12203096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.991859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66041 KachelY 68088 0.02420813 -0.12203096 1.387024 -6.991859
    Oben rechts KachelX + 1 66042 KachelY 68088 0.02425607 -0.12203096 1.389770 -6.991859
    Unten links KachelX 66041 KachelY + 1 68089 0.02420813 -0.12207854 1.387024 -6.994585
    Unten rechts KachelX + 1 66042 KachelY + 1 68089 0.02425607 -0.12207854 1.389770 -6.994585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12203096--0.12207854) × R
    4.75800000000054e-05 × 6371000     		dl = 303.132180000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12203096--0.12207854) × R
    4.75800000000054e-05 × 6371000     		dr = 303.132180000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02420813-0.02425607) × cos(-0.12203096) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992563457749402 × 6371000     		do = 303.154428580068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02420813-0.02425607) × cos(-0.12207854) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992557664792731 × 6371000     		du = 303.15265926199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12203096)-sin(-0.12207854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992563457749402-0.992557664792731)×R²
    abs(0.02425607-0.02420813)×5.79295667113566e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.79295667113566e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.79295667113566e-06×40589641000000     		ar = 91895.5946608531m²