Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66038 / 68090
↖ ↑ ↗
← S  6.997311°
E  1.378784°		 ← 303.15 m → S  6.997311°
E  1.381531°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
S  7.000037°
E  1.378784°		 ← 303.15 m →
91 895 m²		 S  7.000037°
E  1.381531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503833770751953 y=0.519489288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503833770751953 × 217)
    floor (0.503833770751953 × 131072)
    floor (66038.5)     		tx = 66038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519489288330078 × 217)
    floor (0.519489288330078 × 131072)
    floor (68090.5)     		ty = 68090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66038 / 68090 ti = "17/66038/68090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66038/68090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66038 ÷ 217
    66038 ÷ 131072     		x = 0.503829956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68090 ÷ 217
    68090 ÷ 131072     		y = 0.519485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503829956054688 × 2 - 1) × π
    0.007659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02406432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.519485473632812 × 2 - 1) × π
    -0.038970947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.122430841629623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02406432} λ = 0.02406432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122430841629623))-π/2
    2×atan(0.884767091877902)-π/2
    2×0.724335101485736-π/2
    1.44867020297147-1.57079632675     		φ = -0.12212612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02406432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.378784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12212612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.997311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66038 KachelY 68090 0.02406432 -0.12212612 1.378784 -6.997311
    Oben rechts KachelX + 1 66039 KachelY 68090 0.02411226 -0.12212612 1.381531 -6.997311
    Unten links KachelX 66038 KachelY + 1 68091 0.02406432 -0.12217370 1.378784 -7.000037
    Unten rechts KachelX + 1 66039 KachelY + 1 68091 0.02411226 -0.12217370 1.381531 -7.000037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12212612--0.12217370) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dl = 303.132179999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12212612--0.12217370) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dr = 303.132179999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02406432-0.02411226) × cos(-0.12212612) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992551869589052 × 6371000     		do = 303.150889257618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02406432-0.02411226) × cos(-0.12217370) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.992546072138378 × 6371000     		du = 303.149118566956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12212612)-sin(-0.12217370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992551869589052-0.992546072138378)×R²
    abs(0.02411226-0.02406432)×5.79745067408322e-06×R²
    4.79399999999998e-05×5.79745067408322e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.79745067408322e-06×40589641000000     		ar = 91894.5215702417m²