Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66034 / 44078
↖ ↑ ↗
← N 50.656426°
E  1.367798°		 ← 193.59 m → N 50.656426°
E  1.370544°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
N 50.654685°
E  1.367798°		 ← 193.60 m →
37 483 m²		 N 50.654685°
E  1.370544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503803253173828 y=0.336292266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503803253173828 × 217)
    floor (0.503803253173828 × 131072)
    floor (66034.5)     		tx = 66034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336292266845703 × 217)
    floor (0.336292266845703 × 131072)
    floor (44078.5)     		ty = 44078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66034 / 44078 ti = "17/66034/44078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66034/44078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66034 ÷ 217
    66034 ÷ 131072     		x = 0.503799438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44078 ÷ 217
    44078 ÷ 131072     		y = 0.336288452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503799438476562 × 2 - 1) × π
    0.007598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02387258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336288452148438 × 2 - 1) × π
    0.327423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02862999204716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02387258} λ = 0.02387258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02862999204716))-π/2
    2×atan(2.79723097971985)-π/2
    2×1.22745887382524-π/2
    2.45491774765048-1.57079632675     		φ = 0.88412142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02387258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.367798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88412142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.656426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66034 KachelY 44078 0.02387258 0.88412142 1.367798 50.656426
    Oben rechts KachelX + 1 66035 KachelY 44078 0.02392051 0.88412142 1.370544 50.656426
    Unten links KachelX 66034 KachelY + 1 44079 0.02387258 0.88409103 1.367798 50.654685
    Unten rechts KachelX + 1 66035 KachelY + 1 44079 0.02392051 0.88409103 1.370544 50.654685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88412142-0.88409103) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dl = 193.614690000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88412142-0.88409103) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dr = 193.614690000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02387258-0.02392051) × cos(0.88412142) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.633969203211373 × 6371000     		do = 193.5901228501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02387258-0.02392051) × cos(0.88409103) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.633992705277143 × 6371000     		du = 193.597299488612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88412142)-sin(0.88409103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633969203211373-0.633992705277143)×R²
    abs(0.02392051-0.02387258)×2.35020657693985e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.35020657693985e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.35020657693985e-05×40589641000000     		ar = 37482.5863767441m²