Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66026 / 65754
↖ ↑ ↗
← S  0.598744°
E  1.345825°		 ← 305.41 m → S  0.598744°
E  1.348572°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.601491°
E  1.345825°		 ← 305.41 m →
93 280 m²		 S  0.601491°
E  1.348572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503742218017578 y=0.501667022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503742218017578 × 217)
    floor (0.503742218017578 × 131072)
    floor (66026.5)     		tx = 66026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501667022705078 × 217)
    floor (0.501667022705078 × 131072)
    floor (65754.5)     		ty = 65754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66026 / 65754 ti = "17/66026/65754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66026/65754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66026 ÷ 217
    66026 ÷ 131072     		x = 0.503738403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65754 ÷ 217
    65754 ÷ 131072     		y = 0.501663208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503738403320312 × 2 - 1) × π
    0.007476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02348908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501663208007812 × 2 - 1) × π
    -0.003326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0104502441171722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02348908} λ = 0.02348908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0104502441171722))-π/2
    2×atan(0.989604169972091)-π/2
    2×0.780173136440108-π/2
    1.56034627288022-1.57079632675     		φ = -0.01045005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02348908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.345825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01045005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.598744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66026 KachelY 65754 0.02348908 -0.01045005 1.345825 -0.598744
    Oben rechts KachelX + 1 66027 KachelY 65754 0.02353702 -0.01045005 1.348572 -0.598744
    Unten links KachelX 66026 KachelY + 1 65755 0.02348908 -0.01049799 1.345825 -0.601491
    Unten rechts KachelX + 1 66027 KachelY + 1 65755 0.02353702 -0.01049799 1.348572 -0.601491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01045005--0.01049799) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01045005--0.01049799) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02348908-0.02353702) × cos(-0.01045005) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999945398724389 × 6371000     		do = 305.40906336499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02348908-0.02353702) × cos(-0.01049799) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999944896609051 × 6371000     		du = 305.408910006042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01045005)-sin(-0.01049799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999945398724389-0.999944896609051)×R²
    abs(0.02353702-0.02348908)×5.02115337974729e-07×R²
    4.79399999999998e-05×5.02115337974729e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.02115337974729e-07×40589641000000     		ar = 93279.7657789393m²