Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66023 / 65763
↖ ↑ ↗
← S  0.623462°
E  1.337585°		 ← 305.41 m → S  0.623462°
E  1.340332°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.626208°
E  1.337585°		 ← 305.41 m →
93 279 m²		 S  0.626208°
E  1.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503719329833984 y=0.501735687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503719329833984 × 217)
    floor (0.503719329833984 × 131072)
    floor (66023.5)     		tx = 66023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501735687255859 × 217)
    floor (0.501735687255859 × 131072)
    floor (65763.5)     		ty = 65763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66023 / 65763 ti = "17/66023/65763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66023/65763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66023 ÷ 217
    66023 ÷ 131072     		x = 0.503715515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65763 ÷ 217
    65763 ÷ 131072     		y = 0.501731872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503715515136719 × 2 - 1) × π
    0.0074310302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02334527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501731872558594 × 2 - 1) × π
    -0.0034637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0108816762137527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02334527} λ = 0.02334527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0108816762137527))-π/2
    2×atan(0.989177315056332)-π/2
    2×0.779957432663129-π/2
    1.55991486532626-1.57079632675     		φ = -0.01088146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02334527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.337585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01088146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.623462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66023 KachelY 65763 0.02334527 -0.01088146 1.337585 -0.623462
    Oben rechts KachelX + 1 66024 KachelY 65763 0.02339321 -0.01088146 1.340332 -0.623462
    Unten links KachelX 66023 KachelY + 1 65764 0.02334527 -0.01092940 1.337585 -0.626208
    Unten rechts KachelX + 1 66024 KachelY + 1 65764 0.02339321 -0.01092940 1.340332 -0.626208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01088146--0.01092940) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01088146--0.01092940) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02334527-0.02339321) × cos(-0.01088146) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999940797498299 × 6371000     		do = 305.407658032107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02334527-0.02339321) × cos(-0.01092940) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999940274702348 × 6371000     		du = 305.407498356767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01088146)-sin(-0.01092940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999940797498299-0.999940274702348)×R²
    abs(0.02339321-0.02334527)×5.22795951418686e-07×R²
    4.79399999999998e-05×5.22795951418686e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×5.22795951418686e-07×40589641000000     		ar = 93279.3355895106m²