Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66023 / 44565
↖ ↑ ↗
← N 49.800768°
E  1.337585°		 ← 197.14 m → N 49.800768°
E  1.340332°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
N 49.798996°
E  1.337585°		 ← 197.14 m →
38 860 m²		 N 49.798996°
E  1.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503719329833984 y=0.340007781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503719329833984 × 217)
    floor (0.503719329833984 × 131072)
    floor (66023.5)     		tx = 66023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340007781982422 × 217)
    floor (0.340007781982422 × 131072)
    floor (44565.5)     		ty = 44565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66023 / 44565 ti = "17/66023/44565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66023/44565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66023 ÷ 217
    66023 ÷ 131072     		x = 0.503715515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44565 ÷ 217
    44565 ÷ 131072     		y = 0.340003967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503715515136719 × 2 - 1) × π
    0.0074310302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02334527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340003967285156 × 2 - 1) × π
    0.319992065429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.0052847219322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02334527} λ = 0.02334527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0052847219322))-π/2
    2×atan(2.73268521748693)-π/2
    2×1.21999185359006-π/2
    2.43998370718013-1.57079632675     		φ = 0.86918738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02334527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.337585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86918738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.800768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66023 KachelY 44565 0.02334527 0.86918738 1.337585 49.800768
    Oben rechts KachelX + 1 66024 KachelY 44565 0.02339321 0.86918738 1.340332 49.800768
    Unten links KachelX 66023 KachelY + 1 44566 0.02334527 0.86915644 1.337585 49.798996
    Unten rechts KachelX + 1 66024 KachelY + 1 44566 0.02339321 0.86915644 1.340332 49.798996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86918738-0.86915644) × R
    3.09399999999238e-05 × 6371000     		dl = 197.118739999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86918738-0.86915644) × R
    3.09399999999238e-05 × 6371000     		dr = 197.118739999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02334527-0.02339321) × cos(0.86918738) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645447443246447 × 6371000     		do = 197.136262984653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02334527-0.02339321) × cos(0.86915644) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645471075054483 × 6371000     		du = 197.14348074711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86918738)-sin(0.86915644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645447443246447-0.645471075054483)×R²
    abs(0.02339321-0.02334527)×2.36318080358844e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36318080358844e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36318080358844e-05×40589641000000     		ar = 38859.9631489715m²