Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66013 / 65627
↖ ↑ ↗
← S  0.249938°
E  1.310120°		 ← 305.42 m → S  0.249938°
E  1.312866°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.252685°
E  1.310120°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 S  0.252685°
E  1.312866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503643035888672 y=0.500698089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503643035888672 × 217)
    floor (0.503643035888672 × 131072)
    floor (66013.5)     		tx = 66013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500698089599609 × 217)
    floor (0.500698089599609 × 131072)
    floor (65627.5)     		ty = 65627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66013 / 65627 ti = "17/66013/65627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66013/65627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66013 ÷ 217
    66013 ÷ 131072     		x = 0.503639221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65627 ÷ 217
    65627 ÷ 131072     		y = 0.500694274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503639221191406 × 2 - 1) × π
    0.0072784423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02286590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500694274902344 × 2 - 1) × π
    -0.0013885498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00436225786542511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02286590} λ = 0.02286590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00436225786542511))-π/2
    2×atan(0.995647242961378)-π/2
    2×0.78321704138226-π/2
    1.56643408276452-1.57079632675     		φ = -0.00436224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02286590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.310120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00436224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.249938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66013 KachelY 65627 0.02286590 -0.00436224 1.310120 -0.249938
    Oben rechts KachelX + 1 66014 KachelY 65627 0.02291384 -0.00436224 1.312866 -0.249938
    Unten links KachelX 66013 KachelY + 1 65628 0.02286590 -0.00441018 1.310120 -0.252685
    Unten rechts KachelX + 1 66014 KachelY + 1 65628 0.02291384 -0.00441018 1.312866 -0.252685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00436224--0.00441018) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00436224--0.00441018) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02286590-0.02291384) × cos(-0.00436224) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999990485446179 × 6371000     		do = 305.422834010357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02286590-0.02291384) × cos(-0.00441018) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999990275171946 × 6371000     		du = 305.422769787194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00436224)-sin(-0.00441018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999990485446179-0.999990275171946)×R²
    abs(0.02291384-0.02286590)×2.10274233136687e-07×R²
    4.79399999999998e-05×2.10274233136687e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.10274233136687e-07×40589641000000     		ar = 93283.9853006723m²