Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66009 / 44571
↖ ↑ ↗
← N 49.790131°
E  1.299133°		 ← 197.18 m → N 49.790131°
E  1.301880°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.788358°
E  1.299133°		 ← 197.19 m →
38 881 m²		 N 49.788358°
E  1.301880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503612518310547 y=0.340053558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503612518310547 × 217)
    floor (0.503612518310547 × 131072)
    floor (66009.5)     		tx = 66009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340053558349609 × 217)
    floor (0.340053558349609 × 131072)
    floor (44571.5)     		ty = 44571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66009 / 44571 ti = "17/66009/44571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66009/44571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66009 ÷ 217
    66009 ÷ 131072     		x = 0.503608703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44571 ÷ 217
    44571 ÷ 131072     		y = 0.340049743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503608703613281 × 2 - 1) × π
    0.0072174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02267415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340049743652344 × 2 - 1) × π
    0.319900512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00499710053448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02267415} λ = 0.02267415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00499710053448))-π/2
    2×atan(2.73189935176646)-π/2
    2×1.2198990211461-π/2
    2.4397980422922-1.57079632675     		φ = 0.86900172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02267415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.299133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86900172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.790131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66009 KachelY 44571 0.02267415 0.86900172 1.299133 49.790131
    Oben rechts KachelX + 1 66010 KachelY 44571 0.02272209 0.86900172 1.301880 49.790131
    Unten links KachelX 66009 KachelY + 1 44572 0.02267415 0.86897077 1.299133 49.788358
    Unten rechts KachelX + 1 66010 KachelY + 1 44572 0.02272209 0.86897077 1.301880 49.788358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86900172-0.86897077) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86900172-0.86897077) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02267415-0.02272209) × cos(0.86900172) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645589240099424 × 6371000     		do = 197.179571393403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02267415-0.02272209) × cos(0.86897077) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645612875835976 × 6371000     		du = 197.18679035573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86900172)-sin(0.86897077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645589240099424-0.645612875835976)×R²
    abs(0.02272209-0.02267415)×2.36357365523965e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36357365523965e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36357365523965e-05×40589641000000     		ar = 38881.0627067992m²