Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66000 / 44559
↖ ↑ ↗
← N 49.811404°
E  1.274414°		 ← 197.09 m → N 49.811404°
E  1.277161°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
N 49.809632°
E  1.274414°		 ← 197.10 m →
38 839 m²		 N 49.809632°
E  1.277161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503543853759766 y=0.339962005615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503543853759766 × 217)
    floor (0.503543853759766 × 131072)
    floor (66000.5)     		tx = 66000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339962005615234 × 217)
    floor (0.339962005615234 × 131072)
    floor (44559.5)     		ty = 44559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66000 / 44559 ti = "17/66000/44559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66000/44559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66000 ÷ 217
    66000 ÷ 131072     		x = 0.5035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44559 ÷ 217
    44559 ÷ 131072     		y = 0.339958190917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5035400390625 × 2 - 1) × π
    0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339958190917969 × 2 - 1) × π
    0.320083618164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.00557234332992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02224272} λ = 0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00557234332992))-π/2
    2×atan(2.7334713092717)-π/2
    2×1.22008466564223-π/2
    2.44016933128445-1.57079632675     		φ = 0.86937300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86937300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.811404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66000 KachelY 44559 0.02224272 0.86937300 1.274414 49.811404
    Oben rechts KachelX + 1 66001 KachelY 44559 0.02229066 0.86937300 1.277161 49.811404
    Unten links KachelX 66000 KachelY + 1 44560 0.02224272 0.86934207 1.274414 49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 66001 KachelY + 1 44560 0.02229066 0.86934207 1.277161 49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86937300-0.86934207) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86937300-0.86934207) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02224272-0.02229066) × cos(0.86937300) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645305654702112 × 6371000     		do = 197.092957113576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02224272-0.02229066) × cos(0.86934207) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.645329282577622 × 6371000     		du = 197.100173674938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86937300)-sin(0.86934207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645305654702112-0.645329282577622)×R²
    abs(0.02229066-0.02224272)×2.36278755094688e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36278755094688e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36278755094688e-05×40589641000000     		ar = 38838.8696098699m²