Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65999 / 44497
↖ ↑ ↗
← N 49.921167°
E  1.271667°		 ← 196.65 m → N 49.921167°
E  1.274414°		 →
↑
196.61 m
↓
↑
196.61 m
↓
N 49.919399°
E  1.271667°		 ← 196.65 m →
38 663 m²		 N 49.919399°
E  1.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503536224365234 y=0.339488983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503536224365234 × 217)
    floor (0.503536224365234 × 131072)
    floor (65999.5)     		tx = 65999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339488983154297 × 217)
    floor (0.339488983154297 × 131072)
    floor (44497.5)     		ty = 44497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65999 / 44497 ti = "17/65999/44497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65999/44497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65999 ÷ 217
    65999 ÷ 131072     		x = 0.503532409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44497 ÷ 217
    44497 ÷ 131072     		y = 0.339485168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503532409667969 × 2 - 1) × π
    0.0070648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02219478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339485168457031 × 2 - 1) × π
    0.321029663085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.00854443110636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02219478} λ = 0.02219478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00854443110636))-π/2
    2×atan(2.74160751070053)-π/2
    2×1.22104252977136-π/2
    2.44208505954272-1.57079632675     		φ = 0.87128873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02219478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.271667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87128873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.921167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65999 KachelY 44497 0.02219478 0.87128873 1.271667 49.921167
    Oben rechts KachelX + 1 66000 KachelY 44497 0.02224272 0.87128873 1.274414 49.921167
    Unten links KachelX 65999 KachelY + 1 44498 0.02219478 0.87125787 1.271667 49.919399
    Unten rechts KachelX + 1 66000 KachelY + 1 44498 0.02224272 0.87125787 1.274414 49.919399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87128873-0.87125787) × R
    3.08599999999659e-05 × 6371000     		dl = 196.609059999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87128873-0.87125787) × R
    3.08599999999659e-05 × 6371000     		dr = 196.609059999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02219478-0.02224272) × cos(0.87128873) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.643840998409689 × 6371000     		do = 196.645613381617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02219478-0.02224272) × cos(0.87125787) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.643864610919396 × 6371000     		du = 196.652825249868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87128873)-sin(0.87125787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643840998409689-0.643864610919396)×R²
    abs(0.02224272-0.02219478)×2.36125097067275e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36125097067275e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36125097067275e-05×40589641000000     		ar = 38663.0181623981m²