Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65998 / 44498
↖ ↑ ↗
← N 49.919399°
E  1.268921°		 ← 196.61 m → N 49.919399°
E  1.271667°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.917630°
E  1.268921°		 ← 196.62 m →
38 669 m²		 N 49.917630°
E  1.271667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503528594970703 y=0.339496612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503528594970703 × 217)
    floor (0.503528594970703 × 131072)
    floor (65998.5)     		tx = 65998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339496612548828 × 217)
    floor (0.339496612548828 × 131072)
    floor (44498.5)     		ty = 44498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65998 / 44498 ti = "17/65998/44498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65998/44498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65998 ÷ 217
    65998 ÷ 131072     		x = 0.503524780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44498 ÷ 217
    44498 ÷ 131072     		y = 0.339492797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503524780273438 × 2 - 1) × π
    0.007049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02214685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339492797851562 × 2 - 1) × π
    0.321014404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00849649420674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02214685} λ = 0.02214685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00849649420674))-π/2
    2×atan(2.74147608968647)-π/2
    2×1.22102709761774-π/2
    2.44205419523547-1.57079632675     		φ = 0.87125787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02214685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.268921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87125787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.919399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65998 KachelY 44498 0.02214685 0.87125787 1.268921 49.919399
    Oben rechts KachelX + 1 65999 KachelY 44498 0.02219478 0.87125787 1.271667 49.919399
    Unten links KachelX 65998 KachelY + 1 44499 0.02214685 0.87122700 1.268921 49.917630
    Unten rechts KachelX + 1 65999 KachelY + 1 44499 0.02219478 0.87122700 1.271667 49.917630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87125787-0.87122700) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87125787-0.87122700) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02214685-0.02219478) × cos(0.87125787) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.643864610919396 × 6371000     		do = 196.611804635513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02214685-0.02219478) × cos(0.87122700) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.643888230467121 × 6371000     		du = 196.619017148554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87125787)-sin(0.87122700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643864610919396-0.643888230467121)×R²
    abs(0.02219478-0.02214685)×2.36195477247847e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36195477247847e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36195477247847e-05×40589641000000     		ar = 38668.8974878781m²