Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65996 / 47988
↖ ↑ ↗
← N 43.349150°
E  1.263428°		 ← 222.10 m → N 43.349150°
E  1.266174°		 →
↑
222.09 m
↓
↑
222.09 m
↓
N 43.347152°
E  1.263428°		 ← 222.11 m →
49 328 m²		 N 43.347152°
E  1.266174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503513336181641 y=0.366123199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503513336181641 × 217)
    floor (0.503513336181641 × 131072)
    floor (65996.5)     		tx = 65996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366123199462891 × 217)
    floor (0.366123199462891 × 131072)
    floor (47988.5)     		ty = 47988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65996 / 47988 ti = "17/65996/47988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65996/47988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65996 ÷ 217
    65996 ÷ 131072     		x = 0.503509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47988 ÷ 217
    47988 ÷ 131072     		y = 0.366119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503509521484375 × 2 - 1) × π
    0.00701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02205097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366119384765625 × 2 - 1) × π
    0.26776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.841196714532745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02205097} λ = 0.02205097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841196714532745))-π/2
    2×atan(2.31914066613153)-π/2
    2×1.16369085817607-π/2
    2.32738171635214-1.57079632675     		φ = 0.75658539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02205097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.263428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75658539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.349150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65996 KachelY 47988 0.02205097 0.75658539 1.263428 43.349150
    Oben rechts KachelX + 1 65997 KachelY 47988 0.02209891 0.75658539 1.266174 43.349150
    Unten links KachelX 65996 KachelY + 1 47989 0.02205097 0.75655053 1.263428 43.347152
    Unten rechts KachelX + 1 65997 KachelY + 1 47989 0.02209891 0.75655053 1.266174 43.347152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75658539-0.75655053) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dl = 222.093059999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75658539-0.75655053) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dr = 222.093059999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02205097-0.02209891) × cos(0.75658539) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727184178594376 × 6371000     		do = 222.100765863478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02205097-0.02209891) × cos(0.75655053) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727208107534639 × 6371000     		du = 222.108074377766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75658539)-sin(0.75655053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727184178594376-0.727208107534639)×R²
    abs(0.02209891-0.02205097)×2.39289402628184e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39289402628184e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39289402628184e-05×40589641000000     		ar = 49327.8503090747m²