Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65980 / 48060
↖ ↑ ↗
← N 43.205176°
E  1.219482°		 ← 222.63 m → N 43.205176°
E  1.222229°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
N 43.203174°
E  1.219482°		 ← 222.63 m →
49 558 m²		 N 43.203174°
E  1.222229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503391265869141 y=0.366672515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503391265869141 × 217)
    floor (0.503391265869141 × 131072)
    floor (65980.5)     		tx = 65980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366672515869141 × 217)
    floor (0.366672515869141 × 131072)
    floor (48060.5)     		ty = 48060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65980 / 48060 ti = "17/65980/48060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65980/48060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65980 ÷ 217
    65980 ÷ 131072     		x = 0.503387451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48060 ÷ 217
    48060 ÷ 131072     		y = 0.366668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503387451171875 × 2 - 1) × π
    0.00677490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02128398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366668701171875 × 2 - 1) × π
    0.26666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.837745257760101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02128398} λ = 0.02128398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837745257760101))-π/2
    2×atan(2.31115004993827)-π/2
    2×1.16243444934563-π/2
    2.32486889869127-1.57079632675     		φ = 0.75407257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02128398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.219482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75407257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.205176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65980 KachelY 48060 0.02128398 0.75407257 1.219482 43.205176
    Oben rechts KachelX + 1 65981 KachelY 48060 0.02133192 0.75407257 1.222229 43.205176
    Unten links KachelX 65980 KachelY + 1 48061 0.02128398 0.75403763 1.219482 43.203174
    Unten rechts KachelX + 1 65981 KachelY + 1 48061 0.02133192 0.75403763 1.222229 43.203174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75407257-0.75403763) × R
    3.49400000000388e-05 × 6371000     		dl = 222.602740000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75407257-0.75403763) × R
    3.49400000000388e-05 × 6371000     		dr = 222.602740000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02128398-0.02133192) × cos(0.75407257) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728906787158781 × 6371000     		do = 222.626894858992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02128398-0.02133192) × cos(0.75403763) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728930707090433 × 6371000     		du = 222.634200621818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75407257)-sin(0.75403763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728906787158781-0.728930707090433)×R²
    abs(0.02133192-0.02128398)×2.39199316525163e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39199316525163e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39199316525163e-05×40589641000000     		ar = 49558.1699397679m²