Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65977 / 44503
↖ ↑ ↗
← N 49.910556°
E  1.211243°		 ← 196.69 m → N 49.910556°
E  1.213989°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.908787°
E  1.211243°		 ← 196.70 m →
38 684 m²		 N 49.908787°
E  1.213989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503368377685547 y=0.339534759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503368377685547 × 217)
    floor (0.503368377685547 × 131072)
    floor (65977.5)     		tx = 65977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339534759521484 × 217)
    floor (0.339534759521484 × 131072)
    floor (44503.5)     		ty = 44503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65977 / 44503 ti = "17/65977/44503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65977/44503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65977 ÷ 217
    65977 ÷ 131072     		x = 0.503364562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44503 ÷ 217
    44503 ÷ 131072     		y = 0.339530944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503364562988281 × 2 - 1) × π
    0.0067291259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02114017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339530944824219 × 2 - 1) × π
    0.320938110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00825680970864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02114017} λ = 0.02114017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00825680970864))-π/2
    2×atan(2.74081907910663)-π/2
    2×1.22094992835894-π/2
    2.44189985671789-1.57079632675     		φ = 0.87110353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02114017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.211243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87110353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.910556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65977 KachelY 44503 0.02114017 0.87110353 1.211243 49.910556
    Oben rechts KachelX + 1 65978 KachelY 44503 0.02118811 0.87110353 1.213989 49.910556
    Unten links KachelX 65977 KachelY + 1 44504 0.02114017 0.87107266 1.211243 49.908787
    Unten rechts KachelX + 1 65978 KachelY + 1 44504 0.02118811 0.87107266 1.213989 49.908787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87110353-0.87107266) × R
    3.08699999999051e-05 × 6371000     		dl = 196.672769999396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87110353-0.87107266) × R
    3.08699999999051e-05 × 6371000     		dr = 196.672769999396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02114017-0.02118811) × cos(0.87110353) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.643982694871416 × 6371000     		do = 196.688891128296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02114017-0.02118811) × cos(0.87107266) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.644006311351126 × 6371000     		du = 196.696104209087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87110353)-sin(0.87107266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643982694871416-0.644006311351126)×R²
    abs(0.02118811-0.02114017)×2.36164797097205e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36164797097205e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36164797097205e-05×40589641000000     		ar = 38684.058357785m²