Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65975 / 65716
↖ ↑ ↗
← S  0.494378°
E  1.205750°		 ← 305.41 m → S  0.494378°
E  1.208496°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.497125°
E  1.205750°		 ← 305.41 m →
93 281 m²		 S  0.497125°
E  1.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503353118896484 y=0.501377105712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503353118896484 × 217)
    floor (0.503353118896484 × 131072)
    floor (65975.5)     		tx = 65975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501377105712891 × 217)
    floor (0.501377105712891 × 131072)
    floor (65716.5)     		ty = 65716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65975 / 65716 ti = "17/65975/65716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65975/65716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65975 ÷ 217
    65975 ÷ 131072     		x = 0.503349304199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65716 ÷ 217
    65716 ÷ 131072     		y = 0.501373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503349304199219 × 2 - 1) × π
    0.0066986083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02104430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00862864193161011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02104430} λ = 0.02104430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00862864193161011))-π/2
    2×atan(0.991408477957712)-π/2
    2×0.781083895966668-π/2
    1.56216779193334-1.57079632675     		φ = -0.00862853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02104430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.205750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00862853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.494378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65975 KachelY 65716 0.02104430 -0.00862853 1.205750 -0.494378
    Oben rechts KachelX + 1 65976 KachelY 65716 0.02109224 -0.00862853 1.208496 -0.494378
    Unten links KachelX 65975 KachelY + 1 65717 0.02104430 -0.00867647 1.205750 -0.497125
    Unten rechts KachelX + 1 65976 KachelY + 1 65717 0.02109224 -0.00867647 1.208496 -0.497125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00862853--0.00867647) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00862853--0.00867647) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02104430-0.02109224) × cos(-0.00862853) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999962774465979 × 6371000     		do = 305.414370363745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02104430-0.02109224) × cos(-0.00867647) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.999962359670304 × 6371000     		du = 305.41424367447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00862853)-sin(-0.00867647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999962774465979-0.999962359670304)×R²
    abs(0.02109224-0.02104430)×4.14795674252844e-07×R²
    4.79400000000033e-05×4.14795674252844e-07×6371000²
    4.79400000000033e-05×4.14795674252844e-07×40589641000000     		ar = 93281.3907457608m²