Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65974 / 65718
↖ ↑ ↗
← S  0.499872°
E  1.203003°		 ← 305.41 m → S  0.499872°
E  1.205750°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.502618°
E  1.203003°		 ← 305.41 m →
93 262 m²		 S  0.502618°
E  1.205750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503345489501953 y=0.501392364501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503345489501953 × 217)
    floor (0.503345489501953 × 131072)
    floor (65974.5)     		tx = 65974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501392364501953 × 217)
    floor (0.501392364501953 × 131072)
    floor (65718.5)     		ty = 65718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65974 / 65718 ti = "17/65974/65718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65974/65718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65974 ÷ 217
    65974 ÷ 131072     		x = 0.503341674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65718 ÷ 217
    65718 ÷ 131072     		y = 0.501388549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503341674804688 × 2 - 1) × π
    0.006683349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02099636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501388549804688 × 2 - 1) × π
    -0.002777099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00872451573085022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02099636} λ = 0.02099636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00872451573085022))-π/2
    2×atan(0.991313432416593)-π/2
    2×0.781035960871427-π/2
    1.56207192174285-1.57079632675     		φ = -0.00872441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02099636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.203003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00872441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.499872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65974 KachelY 65718 0.02099636 -0.00872441 1.203003 -0.499872
    Oben rechts KachelX + 1 65975 KachelY 65718 0.02104430 -0.00872441 1.205750 -0.499872
    Unten links KachelX 65974 KachelY + 1 65719 0.02099636 -0.00877234 1.203003 -0.502618
    Unten rechts KachelX + 1 65975 KachelY + 1 65719 0.02104430 -0.00877234 1.205750 -0.502618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00872441--0.00877234) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00872441--0.00877234) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02099636-0.02104430) × cos(-0.00872441) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999961942576473 × 6371000     		do = 305.414116283255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02099636-0.02104430) × cos(-0.00877234) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999961523272208 × 6371000     		du = 305.41398821694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00872441)-sin(-0.00877234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999961942576473-0.999961523272208)×R²
    abs(0.02104430-0.02099636)×4.19304265197873e-07×R²
    4.79399999999998e-05×4.19304265197873e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×4.19304265197873e-07×40589641000000     		ar = 93261.8550034689m²