Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6597 / 7493
↖ ↑ ↗
← S 81.550619°
E109.907227°		 ← 718 m → S 81.550619°
E109.951172°		 →
↑
717.69 m
↓
↑
717.69 m
↓
S 81.557073°
E109.907227°		 ← 717.46 m →
515 108 m²		 S 81.557073°
E109.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80535888671875 y=0.91473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80535888671875 × 213)
    floor (0.80535888671875 × 8192)
    floor (6597.5)     		tx = 6597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91473388671875 × 213)
    floor (0.91473388671875 × 8192)
    floor (7493.5)     		ty = 7493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6597 / 7493 ti = "13/6597/7493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6597/7493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6597 ÷ 213
    6597 ÷ 8192     		x = 0.8052978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7493 ÷ 213
    7493 ÷ 8192     		y = 0.9146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8052978515625 × 2 - 1) × π
    0.610595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91824298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.829345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60546636814929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91824298} λ = 1.91824298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60546636814929))-π/2
    2×atan(0.0738686791639235)-π/2
    2×0.073734760504978-π/2
    0.147469521009956-1.57079632675     		φ = -1.42332681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91824298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42332681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.550619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6597 KachelY 7493 1.91824298 -1.42332681 109.907227 -81.550619
    Oben rechts KachelX + 1 6598 KachelY 7493 1.91900997 -1.42332681 109.951172 -81.550619
    Unten links KachelX 6597 KachelY + 1 7494 1.91824298 -1.42343946 109.907227 -81.557073
    Unten rechts KachelX + 1 6598 KachelY + 1 7494 1.91900997 -1.42343946 109.951172 -81.557073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42332681--1.42343946) × R
    0.000112649999999936 × 6371000     		dl = 717.693149999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42332681--1.42343946) × R
    0.000112649999999936 × 6371000     		dr = 717.693149999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91824298-1.91900997) × cos(-1.42332681) × R
    0.000766990000000023 × 0.146935588085735 × 6371000     		do = 717.999765243168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91824298-1.91900997) × cos(-1.42343946) × R
    0.000766990000000023 × 0.146824159849722 × 6371000     		du = 717.455271915576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42332681)-sin(-1.42343946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146935588085735-0.146824159849722)×R²
    abs(1.91900997-1.91824298)×0.000111428236012567×R²
    0.000766990000000023×0.000111428236012567×6371000²
    0.000766990000000023×0.000111428236012567×40589641000000     		ar = 515108.124196009m²