Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65968 / 48016
↖ ↑ ↗
← N 43.293200°
E  1.186523°		 ← 222.31 m → N 43.293200°
E  1.189270°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
N 43.291201°
E  1.186523°		 ← 222.31 m →
49 416 m²		 N 43.291201°
E  1.189270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503299713134766 y=0.366336822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503299713134766 × 217)
    floor (0.503299713134766 × 131072)
    floor (65968.5)     		tx = 65968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366336822509766 × 217)
    floor (0.366336822509766 × 131072)
    floor (48016.5)     		ty = 48016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65968 / 48016 ti = "17/65968/48016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65968/48016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65968 ÷ 217
    65968 ÷ 131072     		x = 0.5032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48016 ÷ 217
    48016 ÷ 131072     		y = 0.3663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5032958984375 × 2 - 1) × π
    0.006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02070874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3663330078125 × 2 - 1) × π
    0.267333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.839854481343384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02070874} λ = 0.02070874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839854481343384))-π/2
    2×atan(2.31602992669453)-π/2
    2×1.1632026079898-π/2
    2.3264052159796-1.57079632675     		φ = 0.75560889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02070874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75560889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.293200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65968 KachelY 48016 0.02070874 0.75560889 1.186523 43.293200
    Oben rechts KachelX + 1 65969 KachelY 48016 0.02075668 0.75560889 1.189270 43.293200
    Unten links KachelX 65968 KachelY + 1 48017 0.02070874 0.75557400 1.186523 43.291201
    Unten rechts KachelX + 1 65969 KachelY + 1 48017 0.02075668 0.75557400 1.189270 43.291201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75560889-0.75557400) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75560889-0.75557400) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02070874-0.02075668) × cos(0.75560889) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727854142788759 × 6371000     		do = 222.305390173322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02070874-0.02075668) × cos(0.75557400) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727878067534484 × 6371000     		du = 222.312697406489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75560889)-sin(0.75557400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727854142788759-0.727878067534484)×R²
    abs(0.02075668-0.02070874)×2.39247457246572e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39247457246572e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39247457246572e-05×40589641000000     		ar = 49415.7857334157m²