Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65967 / 65807
↖ ↑ ↗
← S  0.744303°
E  1.183777°		 ← 305.40 m → S  0.744303°
E  1.186523°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.747049°
E  1.183777°		 ← 305.40 m →
93 277 m²		 S  0.747049°
E  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503292083740234 y=0.502071380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503292083740234 × 217)
    floor (0.503292083740234 × 131072)
    floor (65967.5)     		tx = 65967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502071380615234 × 217)
    floor (0.502071380615234 × 131072)
    floor (65807.5)     		ty = 65807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65967 / 65807 ti = "17/65967/65807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65967/65807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65967 ÷ 217
    65967 ÷ 131072     		x = 0.503288269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65807 ÷ 217
    65807 ÷ 131072     		y = 0.502067565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503288269042969 × 2 - 1) × π
    0.0065765380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02066080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502067565917969 × 2 - 1) × π
    -0.0041351318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0129908997970352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02066080} λ = 0.02066080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0129908997970352))-π/2
    2×atan(0.987093117727132)-π/2
    2×0.778902896190342-π/2
    1.55780579238068-1.57079632675     		φ = -0.01299053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02066080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.183777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01299053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.744303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65967 KachelY 65807 0.02066080 -0.01299053 1.183777 -0.744303
    Oben rechts KachelX + 1 65968 KachelY 65807 0.02070874 -0.01299053 1.186523 -0.744303
    Unten links KachelX 65967 KachelY + 1 65808 0.02066080 -0.01303847 1.183777 -0.747049
    Unten rechts KachelX + 1 65968 KachelY + 1 65808 0.02070874 -0.01303847 1.186523 -0.747049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01299053--0.01303847) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01299053--0.01303847) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02066080-0.02070874) × cos(-0.01299053) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999915624251731 × 6371000     		do = 305.399969474645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02066080-0.02070874) × cos(-0.01303847) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.999915000354213 × 6371000     		du = 305.399778920285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01299053)-sin(-0.01303847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999915624251731-0.999915000354213)×R²
    abs(0.02070874-0.02066080)×6.23897517315619e-07×R²
    4.79399999999998e-05×6.23897517315619e-07×6371000²
    4.79399999999998e-05×6.23897517315619e-07×40589641000000     		ar = 93276.9825905336m²